全等三角形-斜边直角边判定

第四课时斜边直角边定理第12章全等三角形12.2三角形全等的判定回顾与思考1、判定两个三角形全等方法，

，

，

，

。SSSASAAASSAS3、如图，ABBE于B，DEBE于E，⊥

⊥

2、如图,Rt△ABC中，直角边

、

，斜边

。ABCBCACAB（1）若∠A=∠D，AB=DE，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△△

ABCDEF全等ASAABCDEF（2）若∠

A=∠

D，BC=EF，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△△

全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF

（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）△

△

全等SSS想一想对于一般的三角形“S.S.A”可不可以证明三角形全等?AAA？ABCD但直角三角形作为特殊的三角形,会不会有自身独特的判定方法呢?不可以.AAA也不可以.动动手做一做画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=8cm,斜边AB=10cm.ABC10cm10cm10cm10cm10cm8cm8cm8cm8cm8cm把你画的直角三角形与其它同学画的直角三角形进行比较，你发现了什么？ABC10cm10cm10cm10cm10cm8cm8cm8cm8cm8cmA′B′C′10cm10cm10cm10cm10cm8cm8cm8cm8cm8cmRt△ABC≌Rt△A′B′C′直角三角形全等的条件斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.此定理只对直角三角形适用，其他三角形不能用。斜边、直角边公理(HL)推理格式ABCA′B′C′∴在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌∵∠C=∠C′=90°Rt△(HL)想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形识别全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的识别方法——“HL”.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等一条直角边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等两条直角边对应相等的两个直角三角形全等一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等判断下列命题的真假，并说明理由下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何估测这个距离呢？一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.你能解释其中的道理吗？ABDC12解：在△ADB与△ADC中，有

∠1=∠2，

AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°.∴△ADB≌△ADC(ASA).∴DB=DC(全等三角形对应边相等).家庭作业：P79习题6P978、9例4如图19．2．18，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，求证Rt△ABC≌Rt△BAD．

证明∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC与△BAD都是直角三角形．在Rt△ABC与Rt△BAD中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.1．如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证：△BED≌△CFD．练习:证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足∴∠BED=∠CFD=90°∴△BED和△CFD都是直角三角形在Rt△BED与Rt△CFD中,∵DE＝DFBD＝CD∴△BED≌△CFD(H.L)2.如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：BC＝BD

证明:∵∠C＝∠D＝90°∴△ABC与△ABD都是直角三角形在Rt△ABC与Rt△ABD中∵AB=AB（公共边）AC=AD∴Rt△ABC≌Rt△ABD（H．L．）∴BC=BD(全等三角形对应边相等）3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD因为∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADB和Rt△ADC中,AB=ACAD=AD所以Rt△ADB

≌Rt△ADC

(HL)所以BD=CD例2.已知:如图,AB＝CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE＝BF.

求证:(1)AE＝CF;(2)AB∥CD.

BCAEDF(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC证明：∴△ABF和△CDE都是直角三角形在Rt△ABF和Rt△CDE中AB=CDDE=BF∴Rt△ABC≌Rt△BAD∴AF=CE∴AE=CF∴AF-EF=CE-EF(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD∴∠C＝∠A∴AB∥CD.例3.在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，直线DE经过点C，AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为D，E，求证：AD=CEDEABC12∵AD⊥DE证明：∴∠D=90°∵∠ACB+∠1=∠D+∠2而∠ACB=90°∴∠1=∠2在Rt△ADC和Rt△BCE中∠1=∠2∠D=∠E=90°AC=BC∴Rt△ADC≌Rt△BCE∴AD=CE例4.已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求证：△ABC≌△DEFABCPEFQD∵AP、DQ分别是高证明：∴△ABP和△DEQ都是直角三角形∵AB=DE,AP=DQ∴△ABP≌△DEQ∴∠B=∠E在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEFAFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求证：BF=DE巩固练习AFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求证：BD平分EFG变式训练1如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF想想：BD平分EF吗?CDAFEBG变式训练22．如图，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOP≌△BOP证明:在△AOP与△BOP中，∵AO＝BO，∠1＝∠2，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP（S.A.S.）．习题1．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，求证：△ABC≌△DCB证明:在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，AC＝DB（已知），又BC＝CB（公共边），∴△ABC≌△DCB（SSS）．3．要使下列各对三角形全等，还需要增加什么条件？（1）∠A＝∠D，∠B＝∠F；（2）∠A＝∠D，AB＝DE．（1）AB＝DF（ASA）或AC＝DE（AAS）或BC＝FD（AAS）（2）AC＝DF（SAS）或∠B＝∠E（ASA）或∠C＝∠F（AAS）4．如图，已知AB＝AC，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．证明∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．在△ABD与△ACE中，∵AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（S.A.S.）．5．如图，已知AB与CD相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，求证：△AOC≌△DOB．证明：∵AB与CD相交于O∴∠AOC＝∠DOB在△AOC和△DOB