山西省大同市石家田联校石家田中学2022年高二数学文联考试题含解析

山西省大同市石家田联校石家田中学2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）参考答案：D【考点】3L：函数奇偶性的性质；63：导数的运算；R1：不等式．【分析】先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定'＞0，进而可得到f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案．【解答】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即'＞0故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故选D．2.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．20π D．24π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π?5=20π，故选C．3.已知数列{an}是逐项递减的等比数列，其首项a1<0，则其公比q的取值范围是（

）A．（－，－1） B．（－1，0）

C．（0，1）

D．（1，+）参考答案：D略4.如图，三点在地面同一直线上，100米，从两点测得点仰角分别是60°，30°，则点离地面的高度等于(

)A．米

B．米C．50米 D．100米

参考答案：A5.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在内的频率为（）A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3参考答案：D【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图，能求出新生婴儿体重在内的频率．【解答】解：由频率分布直方图，得：新生婴儿体重在内的频率为0.001×300=0.3．故选：D．6.下列命题是真命题的是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略7.已知{an}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7=(

)A．12

B．16

C．20

D．24参考答案：D8.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断．【详解】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，∵a，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．【点睛】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．9.在下列结论中，正确的是（

）

①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件A.①②

B.①③

C.②④

D.③④参考答案：B10.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（

）A、63

B、108

C、75

D、83参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.棱长为的正方体的外接球的表面积是________；参考答案：12.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则

．参考答案：由正弦定理和椭圆的定义可知13.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、、，则这个长方体的外接球的表面积为

.参考答案：因长方体对角线长为，所以其外接球的表面积14.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为__________．参考答案：由图得，此图形是由一个长为，宽为，高为的长方体和一个底面半径，高为的圆锥组成，所以，．∴体积为．15.若实数x满足不等式|x﹣3|≥1，则x的取值范围为．参考答案：x≥4或x≤2【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义进行转化，即可求出x的取值范围．【解答】解：∵|x﹣3|≥1，∴x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1，∴x≥4或x≤2．故答案为：x≥4或x≤2．16.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为____参考答案：略17.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其概率分布如表，数学期望.则__________.X036Pab

参考答案：【分析】通过概率和为1建立方程，再通过得到方程，从而得到答案.【详解】根据题意可得方程组：，解得，从而.【点睛】本题主要考查分布列与期望相关概念，难度不大.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

参考答案：证明：（Ⅰ）连接BD.因为AD=AB，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形.因为Q为AD的中点，所以AD⊥BQ.因为PA=PD，Q为AD中点，所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB.因为，所以平面PQB⊥平面PAD.

4分（Ⅱ）连接AC，交BQ于点N.由AQ∥BC，可得△ANQ∽△CNB，所以.因为PA∥平面MQB，，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA∥MN.所以，即，所以.

8分（Ⅲ）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，，Q(0,0,0)，.，.设平面MQB的法向量为n=(x,y,z)，可得因为PA∥MN，所以即令z=1，则，y=0.于是.取平面ABCD的法向量m=(0,0,l)，所以.故二面角M-BQ-C的大小为60°.

12分19.如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，△为等边三角形，平面平面，且∠=60°,，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使∥平面？并说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：连结EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠=60°，＝1+4－2＝3.∵，∴AD⊥EB．

∵△为等边三角形，为的中点，AD⊥PE．又EB∩PE=E，∴平面PEB，∴．………4分（Ⅱ）平面平面，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．以点E为坐标原点，EA，EB，EP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，D(-1,0,0)，．设平面PCD的一个法向量为，则，即，∴令z＝－1，则x＝，y＝1，故．平面PAD的一个法向量为，∴．又二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．

（Ⅲ）假设棱PB上存在点F，使∥平面，设F(0,m,n)，，则：=，∴，∴．∵∥平面，∴，即．∴，．故当点F为PB的中点时，∥平面．

略20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．（Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BE，只需证明BE⊥B1E，且AB⊥B1E=B，即可得到B1E⊥平面ABE；（Ⅱ）由V=V=V==，得AB=，异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，即可求解．【解答】证明：（Ⅰ）连接BE，∵BC=1

BB1=2，E是CC1上的中点△BCE，△B1C1E为等腰直角三角形，即，∴，即BE⊥B1E∵AB⊥面BB1C1C．B1E?面ABC，∴B1E⊥AB，且AB∩BE=B，∴B1E⊥平面ABE；解：（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴A1、B1到面ABE的距离相等，由（Ⅰ）得BE=B1E=故V=V=V==解得AB=∵AC∥A1C1，∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB，在Rt△ABC中，tan，∴∠CAB=30°∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°．21.（本小题满分12分）某民营企业生产两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）．（Ⅰ）分别将两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

参考答案：解：（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，由题设=，=，．

…………2分由图知，又