山西省大同市柴油机厂子弟学校2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

山西省大同市柴油机厂子弟学校2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的单调增区间是（）A.

B.C.

D.参考答案：C试题分析：函数式化简为，求增区间只需令，所以增区间为

考点：三角函数单调性2.以下有四个命题：①一个等差数列{a}中，若存在a+1>a>O(k∈N)，则对于任意自然数n>k，都有a>0；②一个等比数列{a}中，若存在a<0，a+1<O(k∈N)，则对于任意n∈N，都有a<0；③一个等差数列{a}中，若存在a<0，a<0(k∈N)，则对于任意n∈N，都有a<O；④一个等比数列{a}中，若存在自然数k，使a·a<0，则对于任意n∈N，都有a.a<0；其中正确命题的个数是（

）A.0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：D3.设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(－1，＋∞)

D．(0，＋∞)参考答案：C4.设定义域为的函数若关于x的方程有5个不同的实数解，则=（

）A．6

B．4或6

C．6或2

D．2参考答案：A5.设双曲线，离心率，右焦点．方程的两个实数根分别为，则点与圆的位置关系A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定参考答案：C6.已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）参考答案：B【考点】51：函数的零点．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．7.函数的零点个数为()A．0

B．1

C．4

D．2参考答案：D略8.如图1给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．

B．

C．

D．参考答案：C该程序框图为求和运算．s=0，n=2，i=1，i10？否；s=0+，n=4，i=2，i10？否；s=0++，n=6，i=3，i10？否；…；s=0+++…+，n=22，i=11，i10？是，输出s=.得C选项．9.执行如右图所示的程序框图，则输出的的值是（

）A．

7

B．

6

C.

5

D．3参考答案：B10.已知函数的图像在点A(1,)处切线的斜率为3，数列的前n项和为，则的值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a//b，则y=_____________.参考答案：-4略12.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位.依此规律,则第n个几何体的表面积是__________个平方单位.参考答案：试题分析：1.从上向下看，每层顶面的面个数为：第一层是1，第二层是2，第三层是3………第五层是5，共5个面；2.左边和右边还有底面的面积相等，5层时为，1+2+3+4+5=15个面3.剩下最后2个面了，这2个面的特征就是都有一个角，一个角有3个面，一共有第一层1个角，第二层2角，第三层3个角……第五层5个角，共有1+2+3+4+5=15个角,45个面；4.计算：1层时=62层时=（1+2）×3

+

（1+2）×3

=

9+9=183层时=（1+2+3）×3

+（1+2+3）×3=18+18=36第n层时为（1+2+3+……+n）×3

+

（1+2+3+……+n）×3也就是6×（1+2+3+……+n）所以当n=5是，表面积为6×15=90故第n个几何体的表面积是个平方单位考点：本题主要考查归纳推理，等差数列的求和。点评：常见题，逐个考查，发现规律，大胆做出猜想。13.已知随机变量的分布列如下表，又随机变量，则的均值是

．

X－101Pa

参考答案：由已知，的均值为，∴的均值为，故答案为．

14.函数的部分图象如图所示,则φ=

;ω=

.参考答案：;本题考查三角函数的图象与性质.由图可知,解得.15.设a，b均为正实数，则的最小值是

．参考答案：416.若ai，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1，j+ai，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n=．参考答案：

考点：数列的应用；矩阵变换的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n．解答：解：依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…∴a3，2﹣a3，1=5﹣3=2，（1）a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2+n﹣1，∴a3，n=n2+n﹣1+3=n2+n+2．故答案为：n2+n+2．点评：本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题．17.若不等式恒成立，则实数取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设的定义域为，对于任意正实数恒有且当时，.

（1）求的值；（2）求证：在上是增函数；

（3）解关于的不等式，其中参考答案：解析:(1)令 ---------------------2’(2)设,则,

即(3)由,又

--------------6’

又由(2)知,在为单调递增函数

--------------------------------------------7’

1

此时

------------9’

2,-----10’

3当,解之得

-------------------11’综上:当原不等式得解集为

当原不等式得解集为

当原不等式得解集为-----12’

19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P﹣BD﹣A的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）通过就是PA2+AD2=PD2，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．RT△PHE中，．【解答】（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE因为AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，，，于是再RT△PHE中，．所以二面角P﹣BD﹣A的正切函数值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．20.（本小题满分12分）

已知函数是常数，且当和时，函数取得极值（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围参考答案：解析：（Ⅰ），

………………2分

依题意，即解得

∴

……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解…5分设，则，………7分由0的或当时，于是在上递增；当时，于是在上递减.………………9分依题意有.…11分∴实数的取值范围是.…………………12分21.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.参考答案：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以.由分别为的中点，得， 所以.

………………1分因为侧面底面，且，所以底面.

………………2分又因为底面，所以.

………………3分又因为，平面，平面，

所以平面.

………………4分（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.

………………5分同理，得平面.又因为，平面，平面，所以平面平面.

………………7分又因为平面，所以平面.

………………9分（Ⅲ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，所以，，，

………………10分设，则，所以，，易得平面的法向量.

………………11分设平面的法向量为，由，，得令,得.

………………12分因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，

………………13分所以，解得，或（舍）.

………………14分

22.（本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为(1)求的值，并求出数列的通项公式；(2)将函数向左平移个单位得到的图像，求在上的最大值。参考答案：（1）λ=2

an=；（2）4【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；等比数列的性质．C3D3解析：(Ⅰ)∵Sn=，∴a1=S1=λ-1，a2=S2-S1=2λ-1-(λ-1)=λ，a3=S3-S2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，……2分∵{an}是等比数列，∴a22=a1a3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不