山西省大同市张西河中学2022年高二数学理测试题含解析

山西省大同市张西河中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．3.已知f(x)=·sinx，则=(

)A.+cos1

B.sin1+cos1

C.sin1-cos1

D.sin1+cos1参考答案：B4.在△ABC中，（、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为

（

）

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B略5.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望（

）A

B

C

D参考答案：B略7.设，则（

）A．0.16

B．0.32

C．0.84

D．0.64参考答案：A8.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（

）Ａ、

Ｂ、

Ｃ、

Ｄ、

参考答案：A9.不论k为何值，直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点，则实数m的范围是(

)A.(0，1)

B.

C.

D.(0，7)参考答案：C略10.设为等比数列的前n项和，已知，，则公比q=（A）3

（B）4

（C）5

（D）6参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列不等式

，，

……照此规律，第五个不等式为

；参考答案：由已知中的不等式，，

……得出式子左边是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第五个不等式是

。12.如果的展开式中各项系数之和为128，则开式中的系数是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略13.设的内角所对的边为;则下列命题正确的是

。①若;则

②若;则

③若;则

④若;则⑤若;则参考答案：①②③14.已知，且，若恒成立,则实数ｍ的取值范围是________.参考答案：-4<m<2

略15.如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是________．参考答案：16.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测的水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B．在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是．参考答案：50m【考点】解三角形的实际应用．【分析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．代入即可得出．【解答】解：如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．∴=h2+1002﹣，化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故答案为：50m．17.设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝5，a＋b＝10，则的最大值为________．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）19242630343540合计工人数（人）133543120（1）求这20名工人年龄的众数与平均数；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.参考答案：（1）30,30；（2）详见解析；（3）.【详解】试题分析：（1）利用车间名工人年龄数据表能求出这名工人年龄的众数和平均数．

（2）利用车间名工人年龄数据表能作出茎叶图．

（3）记年龄为岁的三个人为；年龄为岁的三个人为，利用列举法能求出这人均是岁的概率．试题解析：（1）由题意可知，这名工人年龄的众数是，这名工人年龄的平均数为：.（2）这名工人年龄的茎叶图如图所示：（3）记年龄为岁的三个人为；年龄为岁的三个人为，则从这人中随机抽取人的所有可能为：，，共种.满足题意的有种，故所求的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19.已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．参考答案：解：⑴当方程在上有两个相等实根时，且，此时无解．⑵当方程有两个不相等的实根时，①

有且只有一根在上时，有，即，解得②

当时，＝０，，解得，合题意．③

时，，方程可化为，解得合题意．综上所述，实数的取值范围为20.在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，满足an﹣an﹣1+2an?an﹣1=0．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn（2n+1）≤m（n2+3）对所有n∈N*都成立的实数m的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）当n≥2时，满足an﹣an﹣1+2an?an﹣1=0．可得=2，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）bn===，利用“裂项求和”可得数列{bn}的前n项和Tn=．2Tn（2n+1）≤m（n2+3）化为2n≤m（n2+3），化为．再利用函数与数列的单调性即可得出．【解答】（I）证明：∵当n≥2时，满足an﹣an﹣1+2an?an﹣1=0．∴=2，∴数列{}是等差数列，首项为=1，公差d=2．∴=2n﹣1．（II）解：bn===，∴数列{bn}的前n项和为Tn=+…+==．∴2Tn（2n+1）≤m（n2+3）化为2n≤m（n2+3），化为．令f（n）==，函数g（x）=（x＞0），g′（x）==，令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得最小值．∴当n=1，2时，f（n）单调递增；当n≥2时，f（n）单调递减．∴当n=2时，f（n）取得最大值，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、函数与数列的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知数列{an}满足a1+a2+…+an=an+1（n∈N*），数列{bn}为等比数列，a1=b1=2，a2=b2（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式．（Ⅱ）若对每个正整数k，在bk和bk+1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由式子求出a2，由题意求出公比，根据等比数列的通项公式求出bn，利用递推公式和累积法求出an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2n，ak=2k，由已知写出c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…，讨论m=1、2，m≥3，求出Tm、2cm+1，列出方程并整理，讨论方程的解，从而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a1=2，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*），所以a1=a2，解得a2=4，因为数列{bn}为等比数列，a1=b1=2，a2=b2，所以数列{bn}的公比是2，即bn=2?2n﹣1=2n，由a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）得，当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1=an（n∈N*），两个式子相减得，an=an+1﹣an，即，当n=1时，=2符合上式，当n≥2时，，，，…，，以上n﹣1个式子相乘得，，所以an=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n，ak=2k，由题意知，c1=b1=2，c2=c3=2，c4=b2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=b3=8，…，则当m=1时，T1≠2c2，不合题意，当m=2时，T2=2c3，适合题意．当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1一定不适合题意，从而cm+1必是数列{bn}中的某一项bk+1，则Tm=b1+2+2+b2+2+2+2+2+b3+2+…+2+b4+2+…+b5+2+…+b6+…+bk﹣1+2+…+bk，=（2+22+23+…+2k）+2（2+4+…+2k）=2×（2k﹣1）+k（2+2k）=2k+1+2k2+2k﹣2，又2cm+1=2bk+1=2×2k+1，∴2k+1+2k2+2k﹣2=2×2k+1，即2k﹣k2﹣k+1=0，∴2k+1=k2+k，∵2k+1为奇数，k2+k=k（k+1）为偶数，∴上式无解．即当m≥3时，Tm≠2cm+1，综上知，满足题意的正整数只有m=2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，累积法求出数列的通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，数列的求和方法：分组求和，同时考查逻辑推理能力，属于综合题．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到