山西省大同市天镇县张西河乡中学2022年高三数学理测试题含解析

山西省大同市天镇县张西河乡中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆以轴和轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（

）A．

B．C．或

D．或参考答案：C【知识点】椭圆及其几何性质H5由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，

由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a=2，b=1，椭圆方程为；

若焦点y轴上，则b=2，a=4，椭圆方程为．【思路点拨】运用椭圆的性质，得a=2b，再讨论焦点的位置，即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．2.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为(

)A.18 B.36 C.54 D.72参考答案：B【分析】按甲乙分情况求解即可【详解】若甲、乙一起（无其他人）有种若甲、乙与另一人一起（三人一起）有种，共18+18=36种故选：B【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分类讨论思想，是基础题3.已知集合，，则为（

）（A）

(B)

(C)

(D)

参考答案：4.已知函数的图象与y轴的交点为(0,1)，且关于直线对称，若对于任意的，都有，则实数m的取值范围为（

）A.

B.[1,2]

C.

D.参考答案：B5.设不等式组

表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：D不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以,根据几何概型可知所求概率为,选D.

6.已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc参考答案：D【考点】不等式比较大小；不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=xc，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；对于D、logac﹣logbc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=﹣=lgc（）＞0，即有logac＞logbc，故D正确；故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．7.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为(

)（A） （B）（C） （D）参考答案：B还原为立体图形是半个圆锥，侧面展开图为扇形的一部分，计算易得。8.已知命题p：sinx=，命题q：x=+2kπ，k∈Z，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．【解答】解：∵命题，命题，∴由p推不出q，由q能推出p，则p是q的必要不充分条件，故选：B．9.函数对任意实数x都有，那么在实数集上是（

） A．增函数

B．没有单调减区间 C．可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间 D．没有单调增区间参考答案：C10.已知函数f(x)＝x2－cosx，则f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是()A．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)B．f(－0.5)<f(0.6)<f(0)C．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形中，，⊙经过点，与相切于，与相交于，若，则⊙的半径

．

参考答案：

12.已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．参考答案：﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13.已知则的值为

.参考答案：3略14.已知，，若，或，则m的取值范围是_________。参考答案：略15.若从区间中随机取出两个数和，则关于的一元二次方程有实根，且满足的概率为______．参考答案：试题分析：在（0，2）上随机取两个数，则，对应区域面积为,关于的方程有实根，，对应区域为，满足，即以原点为圆心，2为半径的圆上及圆内，符合要求的可行域的面积为，概率为.考点：几何概型16.设，∠AOB=60°，，且λ+＝2，则在上的投影的取值范围是

.参考答案：．17.若数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，那么就称数列{an}具有相纸P，已知数列{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=．参考答案：15【考点】数列递推式．【分析】根据题意，由于数列{an}具有性质P以及a2=a5=2，分析可得a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，结合题意可以将a6+a7+a8=21变形为a3+a4+a5=21，计算可得a4的值，进而分析可得a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）；分析可得a2017的值．【解答】解：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2=a5=2，则有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，若a6+a7+a8=21，可得a3+a4+a5=21，则a4=21﹣3﹣3=15，进而分析可得：a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）则a2017=a3×672+1=15，故答案为：15．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．(Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE；(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．参考答案：（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）或.试题分析：（Ⅰ）证明：由平面ABEF平面ABCD，可得EDAB．ED平面ABCD由BC平面ABCD，得到EDBC．在直角梯形ABCD中,由CD2=BC2+BD2，得到BDBC，得证.（Ⅱ）建立空间直角坐标系Dxyz，得，确定平面BEF的一个法向量.由于AP与平面BEF所成的角等于，得到AP与所成的角为或，由得到根据或求解.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF平面ABCD，EDAB．所以ED平面ABCD

………………1分又因为BC平面ABCD，所以EDBC．

………………2分在直角梯形ABCD中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD2=BC2+BD2，所以，BDBC

……………4分又因为EDBD=D，所以BC平面BDE．

……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz

……6分则

…………7分设，则令是平面BEF的一个法向量，则所以，令，得所以

…………9分因为AP与平面BEF所成的角等于，所以AP与所成的角为或所以

………11分所以又因为，所以或

………12分当时，（*）式无解当时，解得：

………13分所以，或.

………14分考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.19.（本小题满分12分）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元.汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用为，年平均费用为.（1）求出函数，的解析式；（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？参考答案：解：（1）由题意知使用年的维修总费用为=

万元

------（3分）

依题得

--------（6分）

（2）

------------（8分）

当且仅当

即时取等号

-----------（10分）

时取得最小值3万元

答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元.-----（12分）

20.(14分)已知为常数，且，函数是自然对数的底数)．(1)求实数的值；（3分）(2)求函数的单调区间；（5分）(3)当时，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．（6分）参考答案：解：(1)由，得.……………3分(2)由(1)知，其定义域为．…………4分从而，因为，所以

……………5分①当时，由得.由得.②当时，由得由得.……………7分所以，当时，的单调增区间为，单调减区间为．当时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为．……………8分(3)当时，.则.令，则.当在区间内变化时，，的变化情况如下表：1

－0＋

单调递减极小值1单调递增2因为，所以在区间内值域为．

……………11分由此可得，若则对每一个，直线与曲线都有公共点．

……………12分并且对每一个，直线与曲线都没有公共点．综合以上，当时，存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．

……………14分21.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，点M，N分别是边AB，CD上的点，且MN∥BC，.若将矩形ABCD沿MN折起使其形成60°的二面角(如图)．(1)求证:平面CND⊥平面AMND；(2)求直线MC与平面AMND所成角的正弦值.参考答案：（1）见解析；（2）.【分析】（1）转化为证明MN⊥平面CND；（2）过点C作CH⊥ND与点H，则MH是MC在平面AMND内的射影，所以∠CMH即直线MC与平面AMND所成的角.【详解】（1）∵在矩形ABCD中，MN∥BC，∴MN⊥ND，MN⊥NC，又∵ND，NC是平面CND内的两条相交直线，∴MN⊥平面CND，又MN平面AMND，∴平面CND⊥平面AMND.（2）由（1）知∠CND＝60°，又，AB＝3，BC=2，MN∥BC，所以CN＝1，DN=2，由余弦定理得，所以