第七 章稳恒电流和稳恒磁场

《大学物理》第七章

教学课件西南大学：杨亚玲一、

磁感应强度【本章内容】二、毕奥——萨伐尔定律四、安培环路定理五、磁场对运动电荷的作用

六、磁场对载流导线的作用

第七章稳恒电流和稳恒磁场第二节真空中的稳恒磁场2三、

磁通量磁场的高斯定理

3、掌握磁场的高斯定理和安培环路定理，并能熟练地运用安培环路定理来计算具有一定的对称性分布的磁场的磁感应强度。4、确切理解洛伦兹公式和安培定律，掌握计算洛伦兹力、安培力（或磁力矩）的方法。

【本章要求】

1、确切理解磁感应强度的概念，明确磁感应强度矢量性和叠加性。2、掌握毕奥-萨伐尔定律，并熟练地运用该定律来计算几何形状比较规则的载流导线所产生的磁场。重点：毕奥——萨伐尔定律及其应用、安培环路定理及其应用

难点：安培环路定理的应用矢量积：

的大小：矢量（vector）及其运算：

的方向：与、方向满足右手螺旋法则。反交换律结合律分配律第二节真空中的稳恒磁场1、基本磁现象★

永久磁体有吸引铁、钴、镍等物质的性质，叫磁性。★同名磁极互相排斥，异名磁极互相吸引。一、

磁感应强度（1）永久磁体的基本性质和相互作用★

永久磁体磁性最强的区域叫磁极。磁铁有两极，当自由悬挂时，一端指北，叫北极（或N极），一端指南，叫南极（或S极）。★磁极不能单独存在，无论把磁铁分得多小，每个很小的磁铁仍具有N、S两极。★1819年，丹麦哥本哈根大学的教授奥斯特(H.C.Oersted)在讲授电学和磁学课时发现，放在载流导线下面的罗盘针旋转起来了，如图所示。使他感到惊奇的是，罗盘针不是南北指向，而是在转动后慢慢静止在与导线垂直的方向上。于是，奥斯特确信小磁针受到电流的作用力。INS

奥斯特实验（2）磁现象的本质电流对磁场的作用a.磁铁对载流导线的作用b.载流圈受到磁铁的作用而转动磁场对电流的作用★就在同一年（1820年），安培发现放在磁铁附近的载流导线及载流线圈，也会受到力的作用而发生运动。★1820年，安培(A.M.Ampere)在实验中发现了电流间存在着相互作用力。指出两根载流的平行直导线，在两者电流同向时互相吸引，电流反向时，则互相排斥。如图所示:

平行电流之间的相互作用磁体对运动电荷的作用电子束NS+磁体磁体磁体电流磁体运动电荷电流电流磁体电流是否是同一性质的力？

他认为：磁性物质的内部，每个分子都有一个环形电流，即分子电流。每一个分子电流相当于一个很小的电磁体。对外不显磁性对外显磁性

物体在未被磁化之前，各个分子电流的取向是混乱的，对外不呈磁性;

当被磁化后这些分子电流的取向趋于一致或近乎一致，对外呈现出磁性。安培于1822年提出关于物质磁性分子电流假设，

上述这些力，无论是电流和磁铁之间的力，还是电流和电流之间的力都可以归结为运动电荷之间的一个基本力。作用在磁铁上的力同样可用运动电荷之间的基本力来解释，这个基本力叫做磁力(Magneticforce)。运动电荷运动电荷磁场一切磁现象都起源于电荷的运动。运动电荷磁场对运动电荷有磁力作用磁场磁现象的本质：2、磁感强度1）磁场的对外表现磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力作用。2）磁场对运动电荷作用力的特征：

磁场作用在运动的试探电荷上的磁力大小与试探电荷的电量q和运动速率v成正比，力的方向垂直于该电荷的速度方向；载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力将对载流导体作功，表明磁场具有能量。++

磁场中每一点都存在一个特征方向，当试探电荷q沿着这个方向运动时不受力；（我们把这个方向规定为磁感应强度的方向，即该点磁场的方向)且Fm正比于运动电荷的电荷量q和速率v；当时，运动电荷受力最大，用Fm表示，1特斯拉（T）＝104高斯(Gs)单位：(SI)T(特斯拉)（高斯制）Gs(高斯)

对场中某一确定点，有确定值,且与q、v无关。此量定义为磁感应强度（magnticinduction）的大小：方向:小磁针在该点的N极指向,二、毕奥–萨伐尔定律

Pdq

求任意形状带电体产生的电场：则：载电流导线在空间的磁场分布：电流元用类似方法计算任意形状电流产生的磁场：1、磁场的叠加原理载流导线可视为无数个电流元组成：若每一个电流元在空间的磁场已知，------磁场的叠加原理复习P*2、毕奥–萨伐尔定律其中：任一电流元在给定点P所产生的磁感应强度dB的大小，与电流元的大小成正比，与电流元和由电流元到P点的矢径r间的夹角正弦成正比，与r的平方成反比。dB的方向为所决定的方向。（如图所示）---真空磁导率

(H/m)P*电流元在空间产生的磁场大小：

任意载流导线在点P

处的磁感强度---磁场的叠加原理方向：与Idl和r方向满足右手螺旋法则。解题步骤：(3)统一积分变量，确定积分的上下限，求出(1)在载流导线上任选一电流元，写出该电流元在待求点的的大小和方向。3、毕奥-萨伐尔定律的应用举例(2)建立坐标，将分解为。PMD*

【例7.1】载流长直导线的磁场。电流元在P点产生的磁感应强度：大小：方向：解：由于的方向均相同，设有载流直导线(I)，计算场点P处的磁感应强度。变量代换：yOayP磁感应强度的方向，与电流成右手螺旋关系，拇指表示电流方向，四指给出磁场方向。

的方向垂直黑板向里。(2)无限长载流长直导线的磁场.PMN+a（1）P点位于延长线上讨论或P点(3)半无限长载流长直导线的磁场

无限长载流长直导线的磁场分布*PIBIBXI

设在真空中有一半径为R的圆形导线，通过的电流为I,计算通过圆心并垂直于圆形导线所在平面的轴线上任意点

p

的磁感应强度B。解根据对称性分析【例7.2】圆形电流的磁场.p*p*

3）4）2）

和

成右螺旋关系1）若线圈有匝：讨论*I定义载流线圈的磁矩：等效磁偶极子I与电偶极子轴线上远处的电场强度公式比较：讨论

说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.oI（c）*

o（aR）I+R（b）oIRIox5）部分圆弧IIOR应用举例【例题】在球面上竖直和水平的两个圆中，通过相等的电流I，方向如图所示，则圆心处磁感应强度的大小为(A)(B)(C)(D)答案：[(C)](A)(B)(C)(D)ABROII【例题】

一无限长载流导线中部弯成如图所示的1／4圆弧，则O点处磁感应强度的大小为答案：[(B)]两半无限长载流导线和四分之一圆载流导线产生的磁场之矢量和.

【例题】

一长直载流I的导线，中部折成图示一个半径为R的圆，则圆心的磁感应强度大小为（A）（B）（C）（D）0【例题】一无限长载流I的导线，中部弯成如图所示的四分之一圆周AB，圆心为O，半径为R，则在O点处的磁感应强度的大小为（A）（B）（C）（D）

【例题】

如图所示，四条皆垂直于纸面“无限长”载流直导线，每条中的电流均为I.这四条导线被纸面截得的断面组成了边长为2a的正方形的四个顶角，则其中心点O的磁感应强度的大小为（A）（B）（C）0（D）【例题】将载有电流的导线弯成如图所示的形状，求O点的磁感应强度。ADCBEob

解：直线电流AE和CD在o点产生的磁场为直线电流BA在O点产生的磁场大小为（方向垂直于纸面向外）

同理直线电流CB在O点产生的磁场大小为：方向垂直于纸面向外。圆弧电流在O点产生的磁场大小为：（方向垂直于纸面向外）故O点的磁感应强度为：(方向垂直于纸面向外。)ADCBEob++++++++++++pR++*【例7.3】载流螺线管内的磁场

已知导线中电流为I，螺线管单位长度的匝数为n，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点P处的磁感强度.由圆形电流磁场公式o解:op+++++++++++++++dxRop+++++++++++++++R载流直螺线管轴线上的磁感应强度磁场方向与电流绕向构成右手螺旋关系op+++++++++++++++R讨论1.若螺线管无限长，---匀强磁场2.左端点：在管端口处磁场等于中心处的一半。3、运动电荷的磁场单位时间内通过横截面S的电荷即为电流I：电流元在P点产生的磁感应强度：设电流元，横截面积S，载流子：P电流元内带电粒子数目：（适用于v<<c）-q每个电荷量为q，以速度运动的电荷产生的磁感应强度为：q三、磁场的高斯定理1、磁感应线

（1）磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度的方向一致。

（2）磁感应线的密度表示的大小。即：通过某点处垂直于的单位面积的磁感应线数，在数值上就等于该点处磁感应强度的大小。大的地方，磁感应线就密集；

小的地方，磁感应线就稀疏。

因此：规定：长直载流线载流螺线管载流圆环

(1)任何磁场的磁感应线都是环绕电流的无始无终的闭合线。

(2)磁感应线与形成磁场的电流象链环一样，互相贯连。磁感应线的环绕方向与电流的方向之间彼此遵从右手螺旋法则。磁感应线的重要性质：

I(3)任何两条磁感应线都不会相交。2、磁通量磁场的高斯定理（1）概念：穿过磁场中某一曲面的磁感应线总条数，称为穿过一该曲面的磁通量。（2）计算：磁感应强度又称磁通量密度。规定：通过某一曲面的磁通量：单位

磁场高斯定理对于任意闭合曲面：规定的外法线方向为正方向，磁感应线穿进：磁感应线穿出：说明：（1）稳恒磁场是无源场。

（2）磁感应线是闭合曲线。(自然界中未发现磁单极子，磁感应曲线是闭合)

物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。

（3）由磁感应线的连续性，即由于，所以穿过L

曲线为边界的任意曲面的通量都是相同的。

复习：反映静电场性质的两条基本定理无旋场（保守场）

高斯定理有源场

环路定理四、安培环路定理恒定磁场的高斯定理磁场是无源场1、安培环路定理的环流：(1)定理的内容即：

在真空中的稳恒磁场中，磁感应强度

沿任何闭合路径L的线积分（的环流），等于穿过以L为周界的任意曲面的电流强度的代数和的0倍。o（2）定理的证明

设闭合回路为圆形回路（与成右螺旋）

无限长载流长直导线的磁感强度为1）环路围绕长直载流导线，导线垂直于环路所在的平面。o若回路绕向化为顺时针时，则对任意形状的回路

与成右螺旋θ.2）环路不包围电流

环流与闭合曲线的形状无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。

可见，尽管电流I对闭合曲线L上每一点的磁感应强度有贡献，但对该闭合曲线的的环流无贡献。3）环路包围多根载流导线LL定理的内容：

在真空中的稳恒磁场中，磁感应强度

沿任何闭合路径L的线积分（的环流），等于该闭合路径所包围的所有电流强度代数和的0倍。

安培环路定理说明（2）恒定磁场的环流不为零，说明恒定磁场是涡旋场。（3）磁场中高斯定理不仅适用于恒定磁场，也适用于变化磁场，安培环路定理只适用于恒定磁场，对于变化磁场存在的空间，安培环路定理还有更普遍的形式。(1)对L内的电流的正负，由电流流向与L的绕行方向来确定:当电流流向与L的绕行方向满足右手螺旋关系时，则电流强度为正，反之，电流强度为负。（5）在环路外的电流对无贡献，但对环路上的磁感应强度有贡献，其上每一点的是环路外和环路内所有电流产生的磁感应强度在环路上某点的叠加。（6）正如静电场中的高斯定理能帮助我们计算某些具有一定对称性的带电体的电场分布一样，安培环路定理也可帮助我们计算某些具有一定对称性的载流导体的磁场分布。（4）高斯定理和安培环路定理各反映了恒定磁场性质的一个侧面，只有两者结合起来才能全面反映恒定磁场的性质。对闭合回路对闭合回路讨论

问1）是否与回路外电流有关？2）若，是否回路上各处？

是否回路内无电流穿过？对闭合回路L：

例如图，流出纸面的电流为，流进纸面的电流为，则下述各式中哪一个是正确的?（）(1)(2)(3)(4)3、安培环路定理的应用计算某些具有一定对称性的载流导体的磁场分布。

安培环路定理解题步骤：磁场分布的对称性分析：确定的大小及方向分布特征。根据对称性选择合适的闭合路径。计算及。应用安培环路定理计算磁场。【例7.5】长直载流圆柱体的磁场。解1）对称性分析2）选取回路.

的方向与成右螺旋【例题】

无限长载流圆柱面的磁场分布。解：

分析：由电流分布的对称性，管内磁场平行于轴线方向，且管内外与轴等距离处B相等；螺线管密绕，管外磁场近似为零。选择闭合回路解：【例7.6】长直螺线管内的磁感应强度(I、n)长直螺线管内为匀强磁场，方向平行于轴线，且与电流绕向构成右手螺旋关系。当时，螺绕环内可视为均匀场.【例7.7】环形载流螺线管（螺绕环）内外的磁场。2）选回路.解:1）对称性分析；环内线为同心圆，环外为零.（半径为a）和一同轴导体圆管（内、外半径分别为b、c）构成，使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀的分布在导体的横截面上，abc求：（1）导体圆柱内（r<a）；（2）两导体之间（a<r<b）；（3）导体圆管内（b<r<c）以及（4）电缆外（r>c）各点处磁感应强度的大小。【例题】一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（1）导体圆柱内（r<a）；（2）两导体之间（a<r<b）；（3）导体圆管内（b<r<c）以及（4）电缆外（r>c）各点处磁感应强度的大小.abc解由可得+五、磁场对运动电荷的作用1、洛伦兹力

带电粒子运动的方向与磁场方向成夹角时，所受磁力（洛仑兹力):大小：

磁力的方向垂直于和所在的平面。如果运动电荷q

是正的，力的方向与矢量

的方向一致，在电荷为负的情况下，其方向与的方向相反。2、带电粒子在均匀磁场中的运动（1）运动方向与磁场方向平行+Bv

带电粒子做匀速直线运动。洛伦兹力设均匀磁场，带电粒子

由于洛伦兹力永远垂直于带电粒子的速度，所以洛伦兹力对带电粒子不做功。（2）运动方向与磁场方向垂直运动方程：运动半径：FR+v

，故带电粒子做匀速圆周运动。周期：频率：

带电粒子做匀速圆周运动，周期和频率与速度无关。（3）运动方向沿任意方向v⊥=vsinv//=vcos半径：周期：螺距：

带电粒子做螺旋线运动。分解：匀速圆周运动匀速直线运动（1）

质谱仪质谱仪是分析同位素和离子源、加速电场、速度选择器

3、带电粒子在电磁场中的运动和应用...................................................................+-速度选择器照相底片质谱仪的示意图-+测量离子荷质比的重要仪器。So7072737476锗的质谱不同质量的离子打在底片上不同位置处。（2）、霍耳效应

1879年，霍耳（E.H.Hall）发现，把一载流导体放在磁场中时，如果磁场方向与电流方向垂直，则在与磁场和电流两者垂直的方向上出现横向电势差。称为霍耳效应，这电势差称为霍耳电势差。美国物理学家霍尔（A.H.Hall，1855—1938）

I霍耳电压霍耳系数++++

+

+-----I++++---P型半导体+-

霍耳效应的应用1）判断半导体的类型+++---N型半导体-I+-2）

实验确定霍耳系数RH，就能定出载流子浓度n。可用于研究半导体内n

的变化。锗片mvII3）测量磁场霍耳电压4）磁流体发电5)在现代汽车上有广泛的应用。1、安培定律安培力磁场对载流导线（电流）的作用力。安培定律×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××ӨӨӨӨӨӨӨ六、磁场对载流导线的作用电流元在磁场中受到的磁力×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××++++++++--------+负电荷向右运动受洛仑兹力导体表面上、下出现正负电荷导体中出霍耳电场正电荷受到电场力：电流元所受的安培力Ө电流元

中的正离子数为：dN=nSdl(S为导线的截面积）θ大小方向判断右手螺旋载流导线受到的磁力安培定律计算磁场对载流导线的作用力：先选电流元均匀磁场

中载流导线所受安培力载流直导线取电流元受力大小B×方向积分结论方向I2dxLdFxaDC解：【例7.9】求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线CD的作用力。已知：I1，I2，a，L。竖直向上Ox方向：AB取电流元受力大小方向如图所示建坐标系取分量积分【例7.10】任意形状导线：α【例题】有一半径为，流过稳恒电流为的圆弧形载流导线,按图示方式置于均匀外磁场中，则该载流导线所受的安培力大小为多少？I解【例题】有一根流有电流的导线，被折成长度分别为、，夹角为的两段,并置于均匀磁场中，若导线的长度为的一段与平行，则、两段载流导线所受的合磁力的大小为多少？解：IabcdI2、磁场对载流线圈的作用力矩如图均匀磁场中有一矩形载流线圈abcd

a(b)

d(c)线圈没有平动abcdI

a(b)

d(c)线圈有N匝时：（适用于任意线圈）d

磁矩磁力矩：力矩：IB.....................IBB+++++++++++++++++++++++