山西省大同市同煤集团第一中学2021年高三数学文期末试卷含解析

山西省大同市同煤集团第一中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点为F，准线，点M在抛物线C上，点A在左准线上，若，且直线AF的斜率，则的面积为（

）A. B. C. D.参考答案：C设准线与轴交于N，所以,直线的斜率，所以,在直角三角形中，，，根据抛物线定义知，,又,,所以,因此是等边三角形，故，所以的面积为，故选C.

2.如右上图，两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量两点间的距离，选取一条基线，A、B、C、D在一平面内。测得：，则A． B． C． D．数据不够，无法计算参考答案：A略3.已知命题：

（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略4.如图是一个程序框图，则输出的值是（

）A．5

B．7

C．9

D．11参考答案：C试题分析：考点：程序框图．5.复数在复平面上表示的点在第(

)象限． A．一 B．二 C．三 D．四参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义进行求解．解答： 解：===+i，故对应的点的坐标为（，），位于第二象限，故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算进行求解即可．6.设函数，若，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折

起后，点，设所成的角分别为（均不为零）.

若，则点的轨迹为（

）

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.抛物线参考答案：B8.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

参考答案：A由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3条边是虚线，所以木构件的俯视图是A。

9.的值是

A.不存在

B.0

C.2

D.10参考答案：D10.函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得。则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图（1），在四边形中，，，则的值为

参考答案：412.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为

。参考答案：13.有下列命题： ①命题“”的否定是“”； ②设p、q为简单命题，若“”为假命题，则“为真命题”； ③“”是“”的充分不必要条件； ④若函数为偶函数，则； 其中所有正确的说法序号是____________.参考答案：②④略14.在的展开式中，项的系数为

.参考答案：－7

15.若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z=x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为

．参考答案：18【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用配方得到z的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：z=x2+y2+6x﹣2y+10=（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4=0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4=0的距离d==，则z=（）2=18，故答案为：18【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．16.某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为

．参考答案：

略17.若全集U=R，集合A={x|–2≤x≤2}，B={x|0<x<1}，则A∩UB=

．参考答案：{x|–2≤x≤0或1≤x≤2}略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）令两个零点，证明：.参考答案：（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见证明【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，且，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由有两个零点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数，则，且，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）由有两个零点可知由且可知，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调增；即的最小值为，因此当时，，可知在上存在一个零点；当时，，可知在上也存在一个零点，因此，即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19.已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）+=0．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）求出圆C1的圆心到直线C2的距离d0==2，即可求曲线C1上的点到曲线C2的距离的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2展开后得x2﹣2x+y2﹣2y=0再由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得极坐标方程为ρ=2sinθ+2cosθ…曲线C2展开得ρsinθ+ρcosθ+=0，又x=x=ρcosθ，y=ρsinθ，得直角坐标方程为x+y+2=0…（2）由（1）知曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，曲线C2是一条直线圆C1的圆心到直线C2的距离d0==2…故曲线C1上的点到C1的距离d的取值范围是[，3]…20.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足,.（1）求角C的大小;（2）求△ABC面积的最大值.参考答案：解：（1）∵

由正弦定理得：

∴

………………2分

∴

∵

∴

…………………4分∴

……………………6分（2）由正弦定理得得，又，，……………8分△ABC面积，化简得：…………………10分当时，有最大值，。

…………12分（另解：用基本不等式）略21.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ）（1）若|θ﹣φ|=，求|﹣|的值；（2）若θ+φ=，记f（θ）=?﹣λ|+|，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）﹣1，令t=cos（θ﹣），根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ），∴﹣=（cosθ﹣cosφ）+（sinθ﹣sinφ），∴|﹣|2=（cosθ﹣cosφ）2+（sinθ﹣sinφ）2=2﹣2cos（θ﹣φ）=2﹣2cos=2﹣1=1，∴|﹣|=1；（2）?=cosθcosφ+sinθsinφ=cos（θ﹣φ）=cos（2θ﹣），∴|+|==2|cos（θ﹣）|=2cos（θ﹣），∴f（θ）=?﹣λ|+|=cos（2θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）﹣1令t=cos（θ﹣），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2﹣2λt﹣1=2（t﹣）2﹣﹣1，又1≤λ≤2，≤≤1∴t=时，f（t）有最小值﹣﹣1，∴f（θ）的最小值为﹣﹣1．22.某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”． 高二学生日均使用手机时间的频数分布表 时间分组频数[0，20）12[20，40）20[40，60）24[60，80）26[80，100）14[100，120]4（Ⅰ）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由． （Ⅱ）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？

非手机迷手机迷合计男女合计

附：随机变量（其中n=a+b+c+d为样本总量）． 参考数据P（k2≥x0）0.150.100.050.025x02.0722.7063.8415.024 参考答案：【考点】独立性检验的应用． 【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）将频率视为概率，即可得出结论． （Ⅱ）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K2，说明有90%的把握认为“手机迷”与性别有关． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，高一学生是“手机迷”的概率为P1=（0.0025+0.010）×20=0.25（2分） 由频数分布表可知，高二学生是“手机迷”的概率为（4分） 因为P1＞P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大．（5分） （Ⅱ）由频率分