高三物理万有引力与航天

必修第七章万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1、开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕

的轨道都是

，

处在所有椭圆的一个

上。

太阳运动椭圆太阳焦点2、开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与

连线在

内扫过的

。

太阳的相等的面积相等的时间3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的

跟它的公转

的

的比值都相等。三次方周期二次方短轴长轴（即近日点速率最大，远日点速率最小）例2、关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是A.k是一个与行星无关的常量B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则C.T表示行星运动的自转周期D.T表示行星运动的公转周期AD同一中心天体（太阳）例1、1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m,利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是（）

A．0.6小时B．1.6小时C．4.0小时D．24小时B

1、内容：自然界中

两个物体都是

，引力的大小跟这两个物体的质量

成正比，跟它们的

成反比。

任何相互吸引的m1和m2的乘积距离的二次方质点2、公式：G=3、适用条件:适用于

间的相互作用二、万有引力定律r>>物体本身大小均匀球体4、万有引力定律的推导：牛二+开三+牛三⑴如两形状不规则的物体：重心重心m1m2r①如果物体的大小相对于r大小不能忽略时，它们的万有引力大小就

F=Gm1m2/r2

求解。②如果物体的大小相对于r大小可以忽略时，它们的万有引力大小就

F=Gm1m2/r2

求解。不能用可以用⑵如两质量分布均匀的球体：球心球心m1m2r

无论球体的大小相对于r大小不能忽略也好，可以忽略也罢，它们的万有引力大小都可以用F=Gm1m2/r2

求解,r为

之间的距离。两球心例3、下列说法符合史实的是()A．牛顿发现了行星的运动规律B．开普勒发现了万有引力定律C．卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量D．牛顿发现了海王星和冥王星C例4、如图1所示，在半径为R=20cm，质量为M=168kg的均匀铜球上，挖去一个球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一个质量为m=lkg可视为质点的小球，这个小球位于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠近空穴一边，两个球心相距d=2m，试求它们之间的吸引力。图1例5、由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为在引力场中可以有一个类似的物理量用来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（）A．B．C．D.AD三、万有定律的应用1、讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况：物体的重力近似为地球对物体的引力，即

。所以重力加速度

，可见，g随h的

。2、估算中心天体的质量的基本思路：(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的

;就可以求出中心天体的质量M(2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体的

,就可以求出中心天体的质量M。3、求解卫星的有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。

即

;二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即从而得出

(黄金代换，不考虑地球自转)。周期T和轨道半径r表面重力加速度g和半径R增大而减小讨论：1）由可得：2）由可得：3）由可得：4）由可得：人造地球卫星运动的v、ω、T、a与轨道半径r的关系r越大，v越小。r越大，ω越小。r越大，T越大。r越大，a向(g/)越小。例6、两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为A、RA：RB=4：1VA：VB=1：2B、RA：RB=4：1VA：VB=2：1C、RA：RB=1：4VA：VB=1：2D、RA：RB=1：4VA：VB=2：1D例7、2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发展到了很高的水平。飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g.求：（1）飞船在上述圆轨道上运行的速度v；（2）飞船在上述圆轨道上运行的周期T.例8、我国于2007年10月24日发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示。卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道与工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则：()A．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为B．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为C．卫星在停泊轨道和工作轨道运行的向心加速度之比为D．卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度.ACA、1；B、1/9；C、1/4；D、1/16()D例9、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g，则g/g，例10、一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有……经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是卫星表面行星表面即∴g=0.16g0

小结:会讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况例11、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49×1011m,公转的周期T=3.16×107s,求太阳的质量M。

M=4π2r3/GT2=1.96×1030kg

例12、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M

小结例11、12：会用万有引力定律求天体的质量（二种情况）解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为ρ，质量为M

，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m，则有①

②

由①②得，代入数据解得：。例13、如果某恒星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?小结：会用万有引力定律计算天体的平均密度。通过观测天体表面运动卫星的周期T，，就可以求出天体的密度ρ。例14、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67×10-11m3/kg.s2)4、同步卫星：相对地面

且与地球自转具有

的卫星①、定高h=②、定速v=③、定周期T=④、定轨道静止相同周期36000km3.08km/s24h赤道平面例15、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）A、与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆B、与地球表面上某一纬线（非赤道）是共面同心圆C、与地球表面上的赤道是共面同心圆，且卫星相对于地球表面是静止的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的C、D例16、在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同 B．它们的速度可能不同C．它们的向心加速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同A例17、用m表示地球通讯卫星（同步）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面的重力加速度，w0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引有引力的大小A、等于0B、等于C、等于m(R02g0w04)1/3D、以上结果都不对B、C例18、我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。两颗卫星相比

号离地面较高；

号观察范围较大；

号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是

。风云二号

风云一号

风云一号

第二天上午8点

例19、如图所示，是某次发射人造卫星的示意图。人造卫星先在近地的圆周轨道1上运动，然后变轨在椭圆轨道2上运动，最后又变轨在圆周轨道3上运动。a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点．人造卫星在轨道1上的速度为v1，在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在轨道3上的速度为v3，则以上各速度的大小关系是（）A．v1＞v2a＞v2b＞v3B．v1<v2a<v2b<v3C．v2a＞v1＞v3

＞v2bD．v2a＞v1＞v2b＞v3C

人造地球卫星的变轨问题例20、2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，然后卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（）A．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比沿轨道Ⅰ运动的周期长B．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比沿轨道Ⅰ运动的周期短C．卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度小于沿轨道Ⅰ运动到P点（尚未制动）时的加速度D．卫早在轨道Ⅲ上运动的加速度等于沿轨道Ⅰ运动到P点（尚未制动）时的加速度BD提醒：1、椭圆轨道

F万=F向；2、a=v2/r=w2×r，因为时刻

。3、求加速度只能用

,求向心加速度只能用

。不能用也不能用F合/mF向/m有离心或近心小结：弄清地球表面物体、近地卫星、同步卫星的各个物理量之间的关系（着重掌握比较方法）例21、如图，地球赤道上山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则(）A．v1＞v2＞v3

B．v1＜v2＜v3C．a1＞a2＞a3

D．a1＜a3＜a2eqpD对p、q：利用对e、q：利用q为联系e、p的桥梁三种模型的比较例22、同步卫星到地心的距离为r，运行速率为V1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为V2，地球的半径为R，则下列比值正确的是（）C小结：弄清地球表面物体、近地卫星、同步卫星的各个物理量之间的关系（着重掌握比较方法）A、V1/

V2=r/RB、a1/a2=(r/R)2

C、a1/a2=r/RD、V1/

V2=(r/R)1/25、三种宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度

①第一宇宙速度（环绕速度）：是卫星环绕

的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的

，也是发射卫星的

V1=

。地球表面运行最大速度7.9km/s最小速度②第二宇宙速度（脱离速度）：使物体挣脱

引力束缚的

速度，V2=

。地球最小发射11.2km/s③第三宇宙速度（逃逸速度）：使物体挣脱

引力束缚的

速度，V3=

。太阳最小发射16.7km/s例23、我国首枚探月卫星“嫦娥一号”在绕地球轨道上第三次近地点加速变轨后飞向月球，在到达月球附近时必须经刹车减速才能被月球俘获而成为月球卫星，关于“嫦娥一号”的下列说法正确的是（）A．最后一次在近地点加速后的卫星的速度必须等于或大于第二宇宙速度B．卫星在到达月球附近时需刹车减速是因为卫星到达月球时的速度大于月球卫星的第一宇宙速度C．卫星在到达月球附近时需刹车减速是因为卫星到达月球时的速度大于月球卫星的第二宇宙速度D．若绕月卫星要返回地球，则其速度必须加速到大于或等于月球卫星的第三宇宙速度C例24、人造地球卫星绕地球旋转时，既具有动能又具有引力势能（引力势能实际上是卫星与地球共有的，简略地说此势能是人造卫星所具有的）.设地球的质量为M，以卫星离地还需无限远处时的引力势能为零，则质量为m的人造卫星在距离地心为r处时的引力势能为（G为万有引力常量）.（1）试证明：在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械能的绝对值恰好等于其动能.（2）当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星，这个速度叫做第二宇宙速度.用R表示地球的半径，M表示地球的质量，G表示万有引力常量.试写出第二宇宙速度的表达式.第一宇宙速度：从地面出发到近地轨道需要提供的速度在地面上刚发射：第二宇宙速度：从地面出发到脱地轨道需要提供的速度在近地轨道：从地面上发射后到近地轨道机械能守恒在地面上刚发射：脱地：从地面上发射后到脱地机械能守恒小结：第一、二宇宙速度的联系:例25、2007年10月24日18时29分，星箭成功分离之后，“嫦娥一号”卫星进入半径为205km的圆轨道上绕地球做圆周运动，卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后，于25日下午进行第一次变轨，变轨后，卫星轨道半径将抬高到离地球约600km的地方，如图17所示．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，质量为m的“嫦娥一号”卫星在地球上空的万有引力势能为(以无穷远处引力势能为零)，r表示物体到地心的距离．(1)质量为m的“嫦娥一号”卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动，求此时卫星距地球地面高度h1；(2)要使“嫦娥一号”卫星上升，从离地高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做多少功?例26、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径，地球的轨道半径，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）2.3年小结此种类型：最近、最远通过角度关系多星系统例27、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。(1)画出双星运动的轨迹示意图.(2)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比、向心加速度之比都等于质量的反比。变式训练：现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求双星的总质量。(3)设双星的质量分别为m1和m2,两者相距R，试写出它们的角速度表达式。m同轨迹圆同m不同轨迹圆不同注意公式的选用小结此种类型：分析向心力的来源，再书写公式是关键例28、宇宙中存在一些离勘察恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？小结