高中数学人教A版第一章解三角形 课后提升作业四

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业四解三角形的实际应用举例——高度、角度问题(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如图所示,在山脚A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为()2 2 【解析】选D.因为∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,所以∠ASB=180°-∠SAB-∠SBA=135°.在△ABS中,AB=AS·sin135°sin30°=10002(m),所以BC=AB·sin45°=10002×222.(2023·抚州高二检测)在地面上某处,测得塔顶的仰角为θ,由此处向塔走30m,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔走103m,测得塔顶的仰角为4θ,则角θ的度数为()° ° ° °【解析】选A.如图,因为∠PAB=θ,∠PBC=2θ,所以∠BPA=θ,故PB=AB=30m,又因为∠PBC=2θ,∠PCD=4θ,所以∠BPC=2θ,所以PC=BC=103m.在△BPC中,根据余弦定理PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ,将PC=BC=103m,PB=30m代入,得:(103)2=302+(103)2-2×30×103cos2θ,得cos2θ=32又0°<2θ<90°,所以2θ=30°,所以θ=15°.3.在“国庆节”期间,一商场为了做广告,在广场上升起了一广告气球,其直径为4m,当人们仰望气球中心的仰角为60°时,测得气球的视角为2°(当α很小时,可取sinα≈α,π≈,则该气球的中心到地面的距离约为()m m m m【解析】选A.如图,过C作CD⊥AD于D,在Rt△ADC中,sinβ=CD所以AC=CDsinβ=2sin在Rt△ABC中,BC=AC·sin60°=360π×34.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10m到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为() 【解析】选C.设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=3h.在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即(3h)2=h2+102-2h×10×cos120°,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).5.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500米,则电视塔在这次测量中的高度是()2米 米 3米 米【解题指南】画出图形,根据图形分析求解.【解析】选D.由题意画出示意图,设高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h,在Rt△ABD中,由已知得BD=3h,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,得3h2=h2+5002+h·500,解之得h=500(米).6.如图,建造一幢宽为2l,房顶横截面为等腰三角形的住房,且∠ABC=θ,若使雨水从房顶最快流下,则θ等于()° ° ° D.任意角【解析】选B.根据题意知s=AB=lcosθ加速度a=gsinθ.由s=12at2t2=2sa=2l7.(2023·承德高二检测)如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为()6 66 6【解析】选D.设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=2h,PC=23所以在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=60cos∠PBC=60因为∠PBA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=306m或h=-306m(舍去),即建筑物的高度为306m.8.空中有一气球,在它的正西方A点测得它的仰角为45°,同时在它南偏东60°的B点,测得它的仰角为30°,若A,B两点间的距离为266米,这两个观测点均离地1米,那么测量时气球到地面的距离是()A.26677米 B.米 7米【解析】选B.如图,D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影,设CD=x米,依题意知:∠CAD=45°,∠CBD=30°,则AD=x米,BD=3x米.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即2662=x2+(3x)2-2x·(3x)·cos150°=7x2,解得x=26677,故测量时气球到地面的距离是二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=__________m.【解题指南】先用正弦定理求得BC的长度,再解三角形得出CD的长度.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知,BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BC=ABsin∠ACB×sin∠BAC=所以CD=BC×tan∠DBC=3002×33=1006答案:100610.如图所示,要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为______m.【解析】设电视塔AB高为x,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得:BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=3x.在△BDC中,由余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得:x=40,所以电视塔高为40m.答案:40三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2023·天津高二检测)如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1千米,AC=3千米,假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米,请问:两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰?(即从B点出发到达C点)【解题指南】先利用正弦定理,求出AD,再在△ADC中,由余弦定理,求出DC,即可得出结论.【解析】由∠ADC=150°知∠ADB=30°,在△ABD中,∠DAB=30°,由正弦定理得1sin30°=A所以AD=3千米.在△ADC中,由余弦定理得:AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos150°,即32=32+DC2-2·3·DCcos150°,即DC2+3·DC-6=0,解得DC=-3+所以BC≈(千米),由于<,所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.12.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.【解题指南】先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数,再利用正弦定理求出BC的长,最后在△ABC中求塔高AB.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-α-β.由正弦定理得:BCsin∠BDC=即BCsinβ所以BC=sinβ在△ABC中,由于∠ABC=90°,故AB即AB=BC·tanθ=sinβtanθ【能力挑战题】在海岸A处,发现北偏东45°方向距A为(3-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向距A为2nmile的C处的我方缉私艇奉命以103nmile/h的速度追截走私船,此时走私船正以10nmile/h的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.【解析】如图,设缉私艇th后在D处追上走私船,则BD=10tnmile,CD=103tnmile,因为∠BAC=45°+75°=120°,所以在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(3-1)2+22-2×(3-1)×2×cos120°=6,所以BC=6.由正弦定理得sin∠