高中数学人教A版第二章数列 校赛得奖

第二章一、选择题(每小题5分，共20分)1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4 B．－4C．2 D．－2解析：S5＝eq\f(a11－q5,1－q)，∴44＝eq\f(a1[1－－25],1－－2)，∴a1＝4，故选A.答案：A2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A．2 B．eq\f(1,2)C．4 D．eq\f(1,4)解析：∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝eq\f(a4,a3)＝4，故选C.答案：C3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，则eq\f(S9,S6)＝()A．2 B．eq\f(7,3)C．eq\f(8,3) D．3解析：由题意知eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝eq\f(1－q6,1－q3)＝1＋q3＝3，∴q3＝2.∴eq\f(S9,S6)＝eq\f(\f(a11－q9,1－q),\f(a11－q6,1－q))＝eq\f(1－q9,1－q6)＝eq\f(1－q33,1－q32)＝eq\f(1－8,1－4)＝eq\f(7,3).答案：B4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n) D．eq\f(32,3)(1－2－n)解析：∵eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2)，∴an·an＋1＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1·4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝25－2n，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝eq\f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n)．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.解析：∵S6＝4S3，∴eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(4a11－q3,1－q)，解得q3＝3.∴a4＝a1q3＝3.答案：36．数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝8，则S12＝________.解析：由等比数列前n项和的性质，知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，又S4＝2，S8＝8，故S12＝26.答案：26三、解答题(每小题10分，共20分)7．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q.解析：由等比数列性质知a1an＝a2an－1＝128，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋an＝66，,a1an＝128，))∴a1，an为方程x2－66x＋128＝0的两根，又由此方程两根分别为2,64，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64.))当a1＝64，an＝2时，又∵Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，得q＝eq\f(1,2)，又由an＝a1·qn－1，即2＝64·qn－1＝64·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴n＝6；当a1＝2，an＝64时，又∵Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，得q＝2，又由an＝a1·qn－1，即64＝2·2n－1，得n＝6.综上知n＝6，q＝eq\f(1,2)或2.8．一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解析：方法一：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．由已知a1＝1，q≠1，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－q2n,1－q2)＝85，

①,\f(q1－q2n,1－q2)＝170，

②))由②÷①，得q＝2，∴eq\f(1－4n,1－4)＝85,4n＝256，∴n＝4.故公比为2，项数为8.方法二：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q.∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(170,85)＝2.又S2n＝85＋170＝255，据S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，得eq\f(1－22n,1－2)＝255，∴22n＝256，∴2n＝8.即公比为2，项数为8.eq\x(尖子生题库) ☆☆☆9.(10分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解析：(1)∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1，于是eq\f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq\f(a11－q2,1－q)，即2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得2q2＋q＝0，∴q＝－eq\f(1,2)(q＝0舍去)．(2)∵q＝－eq\f(1,2)，又a1－a3＝3，∴a1－a1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝3，解得a1＝4.于是Sn＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－