材料力学第五节

§5-1纯弯曲§5-2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲时的正应力§5-4弯曲切应力§5-5关于弯曲理论的基本假设§5-6提高弯曲强度的措施§5-1纯弯曲

CD段剪力为零，弯矩为常量，该段梁的变形称为纯弯曲。AC、BD段梁的内力既有弯矩又有剪力，该段梁的变形称为横力弯曲。梁的纯弯曲实验实验现象：横向线(ab）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，仍垂直于变形后的梁轴线。中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。假设①平面假设②纵向纤维间无正应力§5-2纯弯曲时的正应力1.变形几何关系MMm2n2sysLyO1O2ra2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层z中性轴y对称轴oa2a1ydqdldqxe2e1

2.物理关系（胡克定律)MsminsmaxMsminsmaxdAyz(中性轴)xzyOsdAM中性轴通过截面形心3.静力关系②梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：

—抗弯截面模量。

4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：

①距中性层y处的应力矩形截面：5.三种典型截面对中性轴的惯性矩实心圆截面截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

§5-3横力弯曲时的正应力弯曲正应力分布弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力弯曲正应力公式适用范围：①线弹性范围—正应力小于比例极限sp；②精确适用于纯弯曲梁；③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。弯曲正应力强度条件1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑

与根据强度条件可进行：强度校核:截面设计:确定梁的许可荷载:FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN1.求支反力解：例5-3-1：求图示梁（1）C截面上K点正应力；（2）C截面上最大正应力；（3）全梁上最大正应力；（4）已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρ2.C截面最大正应力C截面弯矩C截面惯性矩（压应力）3.全梁最大正应力最大弯矩4.C截面曲率半径ρC截面弯矩C截面惯性矩例5-3-2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重，起重量，跨度，材料的许用应力。试选择工字钢的型号。（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢例5-3-3：已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变，求F并校核梁正应力强度。CNO.16FABCFAB例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,,试校核梁的强度。（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核（3）作弯矩图（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩图例5-3-5：图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493×104mm4。已知图a中，b=2m。铸铁的许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[

c]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。(a)(b)

解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st]，则下边缘处最大压应力sc,max为根据可知此sc,max并未达到许用压应力[sc]，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。B截面：C截面：第四章弯曲应力当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]：由此得F≤19200N，亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2kN。第四章弯曲应力讨论：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。解：由此得§5-4弯曲切应力一、矩形梁横截面上的切应力1、公式推导：n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AFs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+dM(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪应力互等Fst方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力其中Fs为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b为y点处截面宽度。1、研究方法与矩形截面同；剪应力的计算公式亦为：2、工字形截面梁的剪应力腹板翼缘在腹板上：在翼缘上，有平行于Fs的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。在翼缘上，还有垂直于Fs方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。3、圆截面梁的剪应力下面求最大剪应力：三、弯曲剪应力强度条件解：画内力图求危面内力例5-4-1：矩形(bh=120180mm2)截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。xM+Fs–+xq=3.6kN/mABL=3m求最大应力并校核强度应力之比例5-4-2：

T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。CAB40401010ycCAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作梁的Fs和M图1）求支座反力：该梁满足强度要求该梁满足强度要求例5-4-3：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为[胶]=0.34MPa，木材的[]=10MPa，[]=1MPa，求许可载荷。1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷解：4.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为§5-5关于弯曲理论的基本假设在导出纯弯曲正应力的计算公式时，引用了两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力假设。假设材料仍是线弹性的，对于横力弯曲问题，按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。可见上、下表面无切应变，中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化，可见这势必使横截面不能保持平面，而引起翘曲。理论分析表明：当截面高度h远小于跨度l的梁，上述偏差是非常小的；而h远远小于跨度l，却正是杆件的几何特征。zq(x)Fs+dFsFsdxprnrsrsptF’sF’s+dF’syy理论分析表明：h远远小于跨度l，y是可以忽略的，这正是假设纵向纤维间无正应力的根据§5-6提高弯曲强度的措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以