高中数学人教A版第二章数列 名师获奖

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第()项 项 项 项【解析】选C.因为a1=1=1，a2=2=4，a3=7，a4=10，a5=13，…，所以an=3n-2.令an=3n-2=219=2.(2023·海口高二检测)由a1=1，d=3确定的等差数列{an}，当an=298时，序号n等于() B.100 【解析】选B.由题意得，1+n-13.(2023·长沙高一检测)不可以作为数列：2，0，2，0，…，的通项公式的是()=2(n=2k-1,k∈=2sin=(-1)n+1=2cos【解析】选C.经检验选项C不可以作为数列：2，0，2，0…的通项公式，而是数列0，2，0，2，…的一个通项公式.4.已知等差数列5，427，347，…的前n项和为Sn，则使得S() B.8 或8 或9【解析】选C.等差数列5，427，347，…的首项为5，公差为-57，所以通项公式an=5+=57所以当1≤n<8时，an>0；当n=8时，an=0；当n≥9时，an<0，所以当n=7或8时Sn最大.【延伸探究】记本题数列为{an}，求数列an的前n项和Tn【解析】Sn=5n+nn-12=514n15当1≤n≤8时，Tn=Sn=514n15当n≥9时，Tn=S8-Sn-S8=2S8-Sn=40-综上知，Tn=55.(2023·武威高二检测)若a1=3，a2=6，an+2=an+1-an，则a55等于() 【解析】选A.由题意得a3=a2-a1=6-3=3，a4=a3-a2=3-6=-3，a5=a4-a3=-3-3=-6，a6=a5-a4=-6--3a7=a6-a5=-3--6所以该数列按3，6，3，-3，-6，-3，周期变化.所以a55=a6×9+1=a1=3.6.在正项等比数列an中，a3=29，S3=269，则数列A.34×23n ×13n-1 D.2【解析】选C.设{an}的公比为q(q>0)，则a所以12q2-q-1=0，所以q=13或q=-14(舍)，a所以an=a1qn-1=2×137.(2023·邢台高一检测)设an=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*)，那么an+1-aA.12n+1 B.C.12n+1+12n+2 【解析】选D.因为an=1n+1+1n+2+…+12n所以an+1=1n+2+…+12n+12n+1+1所以an+1-an=-1n+1+12n+1=12n+1-1【误区警示】解答本题时若对题意理解不准确，则容易出现an+1-an=12n+1+18.(2023·深圳高二检测)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5+a21=a12，那么S27=()015 014 013 【解析】选D.因为数列{an}是等差数列，所以a5+a21=2a13，又a5+a21=a12，所以2a13=a12，所以a13+a13-a12=0，所以a13+d=0，即a14=0，所以S27=27a1+a9.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列annp4：数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为()，p2 ，p4，p3 ，p4【解析】选D.对于p1，数列{an}的公差d>0，所以数列是递增数列；对于p4，因为(an+1+3(n+1)d)-(an+3nd)=d+3d=4d>0，是递增数列.对于p2，因为(n+1)an+1-nan=(n+1)an+(n+1)d-nan=a1+2nd，a1不知道正负，不一定大于零，所以不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列，故选D.10.(2023·荆州高一检测)数列an的各项都是正数，且数列log3an是等差数列，若a5a6+a4a7=18，则log3a B.10 +log3【解析】选B.因为数列lo所以log3an+1-log3an=log3an+1所以an+1an=3d所以数列an所以a5a6=a4a又a5a6+a4a7=18，所以a5a6=a所以a1a10=a2a9=…=a4a7=a所以log3a1+log3a2+…+log=log3a1a2·…·a11.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为() B.729 024 【解析】选D.设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，由题意可得数列{an}成等比数列，它的首项为4，公比q=4，所以{an}的通项公式：an=4·4n-1=4n，所以到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6=46=4096只蜜蜂.【补偿训练】我国历史上对数列概念的认识起源于公元前几百年前.在公元前一百年前成书的《周髀算经》提到：在周城的平地立八尺高的周髀(表竿)，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸9分(以10寸计算)，则9尺5寸应是二十四节气中从冬至开始的第__________个节气.【解析】用{an}表示从冬至开始的“影长”组成的等差数列，则a1=135，an=95，公差d=-10，所以由an=a1+(n-1)d，得n=an答案：512.设{an}是公比为q的等比数列，首项a1=164，对于n∈N*，bn=log12an，当且仅当n=4时，数列{bn}的前n项和Tn取得最大值A.(3，23) B.(3，4)C.(22，4) D.(22，32)【解析】选C.因为等比数列{an}的公比为q，首项a1=164所以bn+1-bn=log12an+1-log12an=lo所以数列{bn}是以log12q为公差，以log1所以bn=6+(n-1)log1由于当且仅当n=4时，Tn最大，所以log12所以6所以-2<log12q<-即22<q<4.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=__________(n∈N*).【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为a2=8，S10=185，所以a解得a1=5，d=3.所以an=5+(n-1)×3=3n+2.答案：3n+214.(2023·泰兴高一检测)等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25【解析】a3a6a18=a13q2+5+17=(a1q8即a9为定值，所以下标和为18的两项积为定值，可知T17为定值.答案：T1715.已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，an+1-an=bn+1bn=2，n∈N*，则数列{b【解析】因为an+1-an=bn+1所以数列{an}是等差数列，且公差是2，数列{bn}是等比数列，且公比是2.又因为a1=1，所以an=a1+(n-1)d=2n-1，所以ban=b2n-1=b1·22n-2=2设cn=ba所以cn=22n-2，所以cncn-1所以数列{cn}的前n项和为1×(1-4n)1-4答案：13(4n16.定义na1+a2+…+an为n个正数a1，a2，…，an的“均倒数”.若已知数列{an}的前【解析】由题可知：na1+所以a1+a2+…+an=n·(2n+1)，所以a1+a2+…+an+an+1=(n+1)·(2n+3)，两式相减得：an+1=(n+1)·(2n+3)-n·(2n+1)=4(n+1)-1，又因为1a1=13，即a1答案：4n-1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2023·德州高二检测)在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.【解析】设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a1+2d=8，a1+3d2所以a1+d=4，dd-3解得a1=4，d=0，或a1=1，d=3，当a1=4，d=0时，Sn=4n.当a1=1，d=3时，Sn=3n18.(12分)(2023·毕节高一检测)已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.(1)求通项an及Sn.(2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.【解析】(1)因为a1=19，公差d=-2，所以an=19-2(n-1)=21-2n，Sn=19n+12n(n-1)×(-2)=20n-n2(2)由题意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1，所以bn=3n-1-2n+21，所以Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+3n19.(12分)在数列{an}中，已知a1=-1，an+an+1+4n+2=0.(1)若bn=an+2n.求证：{bn}是等比数列，并写出{bn}的通项公式.(2)求{an}的通项公式及前n项和Sn.【解析】(1)b1=1，bn+1bn=a所以{bn}是以1为首项，-1为公比的等比数列.bn=(-1)n-1.(2)an=bn-2n=(-1)n-1-2n，当n为偶数时，Sn=-n2-n，当n为奇数时，Sn=1-n2-n.【补偿训练】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=17，S10=100.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}满足bn=(-1)nan，求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有a解得a故an=19+(n-1)(-2)=21-2n.(2)由(1)知，bn=(21-2n)(-1)n.①当n为偶数时，则Tn=(-19)+17+(-15)+13+…+(2n-23)+(21-2n)=(-2)+(-2)+…+(-2)=n2②当n为奇数时，则Tn=Tn-1+an=-(n-1)+(2n-21)=n-20.综上可知，Tn=n20.(12分)(2023·南昌高二检测)数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1+S4=0，b9=a1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式.(2)若cn=1(bn+16)(bn【解析】(1)因为an是Sn和1的等差中项，因为Sn=2an-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1，所以an=2an-1，当n=1时，a1=S1=2a1-1，所以a1=1，所以an≠0(n∈N*)，因为an所以数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2n-1，Sn=a1+a2+…+an=2n-1，设{bn}的公差为d，b1=-S4=-15，b9=-15+8d=1⇒d=2，所以bn=-15+(n-1)×2=2n-17.(2)cn=1(2n-1)(2n+1)=1所以Wn=121-1【补偿训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=Snn+n-1(n∈N(1)求证：数列Sn(2)设数列1anan+1的前n项和为Tn【解析】(1)由题意可得nan=Sn+n(n-1)，所以n(Sn-Sn-1)=Sn+n(n-1)，(n∈N*，n≥2)，即(n-1)Sn-nSn-1=n(n-1)，所以Snn-Sn-1(2)由(1)得Snn=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n所以an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，(n∈N*，n≥2)，又a1=1适合上式，所以an=2n-1.所以1an=12所以Tn=1=n2n+121.(12分)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn=12an2+12(1)求a1，a2，a3，a4的值.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)由Sn=12an2+12a1=12a12+12a1S2=a1+a2=12a22+12a2同理，a3=3，a4=4.(2)Sn=12an2+12当n≥2时，Sn-1=12an-12+12①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0，所以an-an-1=1，又由(1)知a1=1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an=n.22.(12分)(2023·襄阳高一检测)已知数列an是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为Sn，数列bn是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S(1)求数列an和b(2)令c1=1，c2k=a2k-1，c2k+1=a2k+kbk，其中k∈N*，求数列cn的前n(n≥3)项的和Tn【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，数列{bn}的公比为q，则2解得d所以an=2n-1，bn=2n.(2)当n=2k+1(k∈N*)时T2k+1=c1+c2+c3+c4+…+c2k+c2k+1=1+(c2+c4+…+c2k)+(c3+c5+…+c2k+1)=1+(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+b1+a4+2b2+…+a2k+kbk)=1+(a1+a2+