高中数学苏教版第一章立体几何初步 第1章空间两条直线的位置关系

第1章立体几何初步点、线、面之间的位置关系1.2.2空间两条直线的位置关系A组基础巩固1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行 B．一定相交C．一定异面 D．相交或异面解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．答案：D2．a，b为异面直线是指()①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④解析：②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．答案：D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析：易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．答案：C4．下列命题中，其中正确的为________(填序号)．①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；②若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行；③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；④若两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线互相平行；⑤若两条直线都和第三条直线有公共点，那么这两条直线不可能互相平行．解析：根据两条直线的位置关系，知只有③正确．答案：③5．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR＝______．解析：由等角定理可知，当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相同时，∠PQR＝30°；当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相反时，∠PQR＝150°.故填30°或150°.答案：30°或150°6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D(1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相同；(2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C(2)D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A答案：(1)D1B1C1(2)B1D17．两条异面直线指的是________(填序号)．①空间中不相交的两条直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行，选项②③可以借助正方体(如下图所示)，A′B′与AB这两条直线平行．答案：④8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与解析：如图所示，连接BC1，BA1，A1C1因为EF∥BA1，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角即为BC1与BA1所成的角，即∠A1BC1，又因为A1B＝BC1＝A1C1，所以∠A1BC1＝60答案：60°9．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB与CD所成的角的大小．解：如图所示，分别取AC，AD，BC的中点P，M，N.连接PM，PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角．连接MN，AN，DN，设AB＝2，所以PM＝PN＝1.而AN＝DN＝eq\r(3)，则MN⊥AD，AM＝1，得MN＝eq\r(2)，所以MN2＝MP2＋NP2.所以∠MPN＝90°，即异面直线AB，CD所成的角是90°.B级能力提升10．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边形中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，又因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°.故四边形EFGH为矩形．答案：B11.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图所示)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l答案：A12．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．答案：①13.如图所示，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是________解析：因为BC∥AD，所以∠CBD1为异面直线BD1与AD所成角，连CD1.则由正四棱柱性质可知∠BCD1＝90°.又因为BC＝CD＝2，DD1＝4，所以CD1＝2eq\r(5).所以tan∠CBD1＝eq\f(CD1,BC)＝eq\r(5)，即BD1与AD所成角的正切值是eq\r(5).答案：eq\r(5)14.如图所示，木工师傅沿长方体木块ABCD-A1B1C1D1中棱BC和上底面的中心E将长方体木块锯开，解：在面A1B1C1D1内过点E作B1C1的平行线，与A1B1，C1D1分别相交于F、G，连接BF，15.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解：(1)如图所示，连接DC1，所以DC1∥AB1.所以∠CC1D就是AB1和CC1