高中数学人教A版第一章集合与函数概念 5

第14课时函数奇偶性的简单应用课时目标1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式．2．能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题．识记强化1．奇函数⇔函数图象关于原点对称．2．偶函数⇔函数图象关于y轴对称．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是()A．f(x)＝3x＋1B．f(x)＝eq\f(1,x)C．f(x)＝1－eq\f(1,x)D．f(x)＝x答案：D解析：(x)＝3x＋1在定义域R上是增函数但不是奇函数．(x)＝eq\f(1,x)是奇函数但不是增函数．(x)＝1－eq\f(1,x)不是奇函数且在定义域上不是增函数，只有D符合．2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点()A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))))答案：C解析：∵f(－a)＝－f(a)，∴C正确，故选C.3．若函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，则下列结论正确的是()A．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．对任意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．存在实数a，使f(x)是偶函数D．存在实数a，使f(x)是奇函数答案：C解析：对于A，取a＝，则f(1)＝12＋eq\f,1)＝，f＝＋eq\f,＝，显然f(1)>f，所以A错误；对于B，取a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，所以B错误；对于C，取a＝0，则f(x)＝x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，则f(x)是偶函数，所以C正确；对于D，假设存在实数a使得f(x)是奇函数，则f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a，－f(1)＝－1－a，显然f(－1)≠－f(1)，即假设不成立，所以D错误．故选C.4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，则f(1)＝()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)\f(3,2)\f(1,2)答案：A解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).5．若f(x)＝(x－a)(x＋3)为R上的偶函数，则实数a的值为()A．－3B．3C．－6D．6答案：B解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化简得(6－2a)x＝0.因为x∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3)＜f(4)B．f(4)＜f(3)＜f(－1)C．f(3)＜f(4)＜f(－1)D．f(－1)＜f(4)＜f(3)答案：D解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)．又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________.答案：－x＋1解析：当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.8．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－2,2]，且它们在x∈[0,2]上图象如图所示，f(x)>g(x)的解集是________．答案：[－2,0)∪(0,1)解析：做出函数f(x)，g(x)在[－2,2]上的图象．若f(x)>g(x)，f(x)图象应位于g(x)图象上方，结合图象，f(x)>g(x)解集为[－2,0)∪(0,1)．9．若奇函数f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则满足不等式f(x－1)<0的x的取值范围是________．答案：(1,2)∪(－∞，0)解析：方法一：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x－1.又函数为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x＋1，x∈(－∞，0)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,x＋1，x<0.))所以f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x>1，,x，x<1.)))则f(x－1)<0时，有1<x<2或x<0，此即为x的取值范围．方法二：由于当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以f(1)＝0，且函数在(0，＋∞)上为增函数，又函数为奇函数，所以f(－1)＝0，且函数在(－∞，0)上也为增函数，于是f(x－1)<0转化为f(x－1)<f(1)或f(x－1)<f(－1)．当x∈(0，＋∞)时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1<1，))即1<x<2.当x∈(－∞，0)时，x－1<－1，即x<0.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(x)<0.问F(x)＝eq\f(1,fx)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．解：F(x)在(－∞，0)上是增函数，证明过程如下：设x1<x2<0，则－x1>－x2>0.F(x1)－F(x2)＝eq\f(1,fx1)－eq\f(1,fx2)＝eq\f(fx2－fx1,fx1fx2).∵f(x)是奇函数，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x2)－f(x1)<0.∵f(x)在(0，＋∞)上总小于0，－x1>－x2>0，∴f(x1)＝－f(－x1)>0，f(x2)＝－f(－x2)>0.∴f(x1)f(x2)>0，∴F(x1)－F(x2)<0.即F(x1)<F(x2)．∴F(x)在(－∞，0)上是增函数．11．(13分)奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)＜0，求实数m的取值范围．解：原不等式化为f(m－1)＜－f(3－2m)．因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(2m－3)．因为f(x)是减函数，所以m－1＞2m－3，所以m＜2.又f(x)的定义域为(－1,1)，所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2.综上得1＜m＜2.故实数m的取值范围是(1,2)．能力提升12．(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．2答案：B解析：∵f(x)是R上的奇函数∴f(0)＝0.f(2)＝－f(0)＝0.f(4)＝－f(2)＝0.f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝0.13．(15分)已知函数f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5).(1)确定函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(a－x＋b,1＋－x2)＝－eq\f(ax＋b,1＋x2)，求得b＝0.又f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5)，即eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,2)2)＝eq\f(2,5)，求得a＝1.故所求函数解析式为f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(x∈(－1,1))．(2)当x＝0时，f(0)＝0；当x≠0时，f(x)＝eq\f(x,1＋x2)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))令u(x)＝x＋eq\f(1,x)，x∈(－1,1)，且x≠0，设任意的x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，则u(x1)－u(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－(x2＋eq\f(1,x2))＝(x1－x2)(1－eq\f(1,x1x2))．因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1,1－eq\f(1,x1x2)＜0.又x1－x2＜0，所以u(x1)－u(x2)＞0，即u