高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 市获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.答案：B2.在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．答案：C3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.答案：A4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()\f(\r(3),2) \f(\r(2),2)\r(2) \r(3)解析：如右图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).二、填空题(每小题5分，共15分)5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数6．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．解析：如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面BCD上的射影为O，连接DO并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析：取BC中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，∴△AMD为直角三角形，AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a.∴AD＝eq\f(\r(2),2)a×eq\r(2)＝a.答案：a三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位数，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值大小．解析：取BD的中点O，连接AO，A1O(图略)．在正方体中，AO⊥BD，A1B＝A1D，∴A1O⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角，设AA1＝a，在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).即二面角A1－BD－A的正切值为eq\r(2).10.(2023·蚌埠一中高二期中)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°解析：对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.答案：D11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)12.(2023·杭州重点中学高二联考)如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD＝AB＝eq\f(1,2)CD＝2，AB∥CD，M为CE的中点．(1)证明：BM∥平面ADEF；(2)证明：平面BCE⊥平面BDE.证明：(1)取DE中点N，连接MN，AN，因为M、N分别为EC，ED的中点，所以MN綊eq\f(1,2)CD，由已知AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，所以MN綊AB.所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，取CD的中点P，连接BP，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2eq\r(2)，在△BCD中，BD＝BC＝2eq\r(2)，CD＝4，所以BC⊥BD，BD∩ED＝D.所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.13．(2023·杭州重点中学高二联考)在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P－EB－C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解析：(1)证明：因为EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.又因为PC⊂平面PFC，所以EF⊥PC.(2)由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，作PH⊥FC，则PH⊥