高中数学北师大版第一章立体几何初步 第一章章末检测

第一章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为()A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为()A．1：2：3B．2：3：4C．3：2：4D．3：1：2答案：D5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()A．48π，32eq\r(3)πB．48π，4eq\r(3)πC．12π，4eq\r(3)πD．12π，32eq\r(3)π答案：C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若mβ，且α⊥β，则m⊥αD．若m⊥β，且α∥β，则m⊥α答案：D解析：A中可能nα；B中m，n还可能相交或异面；C中m，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D正确．8．四面体S－ABC中，各个面都是边长为2的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：C9．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④答案：A10．直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是()A．[eq\f(4\r(2)－5,2)，eq\f(4\r(2)＋5,2)]B．[2eq\r(2)－2,2eq\r(2)＋2]C．[eq\f(3－2\r(2),2)，eq\f(3＋2\r(2),2)]D．[3eq\r(2)－2,3eq\r(2)＋2]答案：B解析：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离(即BC与AD的公垂线)＋半径＝2eq\r(2)＋2.最小距离为AD到球心的距离(即BC与AD的公垂线)－半径＝2eq\r(2)－2.∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2eq\r(2)－2,2eq\r(2)＋2]．二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．答案：eq\r(2)12．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B－B1EF的体积为________．答案：eq\f(1,3)13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为BB1和CD的中点，则直线AM和D1N所成的角为________.答案：90°14．如图，梯形A′B′C′D′是水平放置的四边形ABCD的用斜二测画法画出的直观图．若A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′＝eq\f(2,3)C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1，则四边形ABCD的面积为________．答案：5解析：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.过点D作y轴的平行线，并在平行线上截取DA＝2D′A′＝2.过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取AB＝A′B′＝2.连接BC，即得到了四边形ABCD.可知四边形ABCD是直角梯形，上、下底边分别为AB＝2，CD＝3，高AD＝2，所以四边形ABCD的面积S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.15．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①直线D1C∥平面A1ABB1；②直线A1D1与平面BCD1相交；③直线AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正确结论的序号为________．答案：①④解析：因为平面A1ABB1∥平面D1DCC1，D1C平面D1DCC1，所以D1C∥平面A1ABB1，①正确；直线A1D1在平面BCD1内，②不正确；显然AD不垂直于BD，所以AD不垂直于平面D1DB，③不正确；因为BC⊥平面A1ABB1，BC平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，④正确．三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如右图所示，设圆台上下底面半径分别为xcm,3xcm.延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又S轴截面＝eq\f(1,2)(6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7.故圆台的高OO1＝14cm，母线长l＝eq\r(2)O1O＝14eq\r(2)cm，两底面半径分别为7cm,21cm.17．(12分)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1)求证：SA∥平面PCD；(2)求圆锥SO的表面积．解：(1)连接PO，∵P，O分别为SB，AB的中点，∴PO∥SA.又PO平面PCD，SA⃘平面PCD，∴SA∥平面PCD.(2)设母线长为l，底面圆半径为r，则r＝2，l＝SB＝2eq\r(2)，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝πrl＝4eq\r(2)π，∴S表＝S底＋S侧＝4(eq\r(2)＋1)π.18．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC，PC于D，E两点，PB＝BC，PA＝AB.(1)求证：PC⊥平面BDE；(2)试确定线段PA上点Q的位置，使得PC∥平面BDQ.解：(1)∵PB＝BC，E为PC的中点，∴PC⊥BE.∵DE垂直平分PC，∴PC⊥DE.又BE平面BDE，DE平面BDE，且BE∩DE＝E，∴PC⊥平面BDE.(2)不妨令PA＝AB＝1，则有PB＝BC＝eq\r(2)，计算得AD＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,3)AC.∴点Q在线段PA上靠近点A的三等分点处，即AQ＝eq\f(1,3)AP时，PC∥QD，从而PC∥平面BDQ.19．(13分)如图，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝AD＝DF＝a，AD⊥DF，M，G分别是AB，DF的中点．(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为eq\f(1,2)×a×a×a＝eq\f(1,2)a3，表面积为eq\f(1,2)a2×2＋eq\r(2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r(2))a2.(2)当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.取FC的中点H，连接GH，GA，MH.∵G是DF的中点，∴GH綊eq\f(1,2)CD.又M是AB的中点，AB綊CD，∴AM綊eq\f(1,2)CD.∴GH∥AM且GH＝AM，∴四边形GHMA是平行四边形，∴GA∥MH.∵MH平面FMC，GA⃘平面FMC，∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC垂直于平面α，BCα，AB＝BC＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B，C处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．(1)图②中的PC(PC<PB)的长为多少时，CP⊥平面ABP？并说明理由．(2)在(1)的情形下，求三棱锥B－APC的高．解：(1)当CP＝3时，CP⊥平面ABP.证明如下：若CP＝3，则BP＝4，而BC＝5，所以三角形BPC为直角三角形，且CP⊥PB.又平面ABC⊥平面α，AB⊥BC，所以AB⊥平面α，于是CP⊥AB.又PB平面ABP，AB平面ABP，PB∩AB＝B，所以CP⊥平面ABP.(2)解法一：如图，过点B作BD⊥AP于点D，由(1)，知CP⊥平面ABP，则CP⊥BD.又AP平面APC，CP平面APC，AP∩CP＝P，所以BD⊥平面APC，即BD为三棱锥B－APC的高．由于PB＝4，AB＝5，AB⊥平面α，所以AP＝eq\r(AB2＋PB2)＝eq\r(25＋16)＝eq\r(41)，由AP·BD＝AB·PB，得BD＝eq\f(4×5,\r(41))＝eq\f(20\r(41),41).即三棱锥B－APC的高为eq\f(20\r(41),41).解法二：由(1)，知CP⊥平面ABP，所以CP⊥AP.又CP＝3，BP＝4，AB＝5，AB⊥BP，所以AP＝eq\r(AB2＋PB2)＝eq\r(25＋16)＝eq\r(41)，所以S△APC＝eq\f(1,2)·CP·AP＝eq\f(3\r(41),2).设三棱锥B－APC的高为h，则VB－APC＝eq\f(1,3)·S△APC·h＝eq\f(\r(41),2)h.又VA－PBC＝eq\f(1,3)·S△PBC·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×CP×BP×AB＝10，而VB－APC＝VA－PBC，得eq\f(\r(41),2)h＝10，所以h＝eq\f(20\r(41),41).即三棱锥B－APC的高为eq\f(20\r(41),41).21．(13分)已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM＝FN＝x，设AB＝a(1)求证：MN∥平面CBE；(2)求证：MN⊥AB；(3)当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．证明：(1)在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，连接GH，∵AM＝FN，∴MC＝NB，∵eq\f(MG,AB)＝eq\f(MC,NC)＝eq\f(NB,EF)∴MG∥NH，∴MNHG为平行四边形，∴MN∥GH又∵GH⊆面BEC，MN面BEC，∴MN∥面BEC(2)∵AB⊥BC，AB⊥BE，∴AB⊥面BEC，∵GH⊆面GEC，∴AB⊥GH，∵MN∥GH，∴MN⊥AB(3)∵面ABCD⊥面ABEF，∴BE⊥面ABCD，∴BE⊥BC∵BG＝eq\f(x,\r(2))，BH＝eq