高中数学苏教版第一章三角函数任意角弧度 2023版第1章2

1.1.2弧度制1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化.重点、难点3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.难点、易错点[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题.1.角度制：规定周角的eq\f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度.()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题.1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°弧度0eq\f(π,180)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)角度120°135°150°180°270°360°弧度eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π3.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)eq\f(3π,5)＝________；(2)－eq\f(π,6)＝________；(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.【解析】(1)eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°；(2)－eq\f(π,6)＝－eq\f(1,6)×180°＝－30°；(3)－120°＝－120×eq\f(π,180)＝－eq\f(2,3)π；(4)210°＝210×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,6).【答案】(1)108°(2)－30°(3)－eq\f(2π,3)(4)eq\f(7π,6)教材整理3扇形的弧长公式及面积公式阅读教材P9的全部内容，完成下列问题.1.弧度制下的弧长公式：如图1­1­7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.图1­1­72.扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝eq\f(|α|,2π)·πr2＝eq\f(1,2)lr.若扇形的圆心角为eq\f(π,6)，半径r＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________.【解析】∵α＝eq\f(π,6)，r＝1，∴弧长l＝α·r＝eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,6)，面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×1＝eq\f(π,12).【答案】eq\f(π,6)eq\f(π,12)[小组合作型]角度制与弧度制的互化把下列弧度化成角度或角度化成弧度；(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.【精彩点拨】利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化.【自主解答】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\f(180°,π)＝18°；(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\f(180°,π)＝－240°；(4)112°30′＝°＝×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.[再练一题]1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).【解】(1)72°＝72×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,5)rad；(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,3)rad；(3)2rad＝2×eq\f(180°,π)＝eq\f(360°,π)≈°；(4)－eq\f(2π,9)rad＝－eq\f(2π,9)×eq\f(180°,π)＝－40°.用弧度制表示角的集合用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1­1­8所示).【导学号：48582023】图1­1­8【精彩点拨】先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合.【自主解答】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°，k∈Z”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2.如图1­1­9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).①②图1­1­9【解】(1)如题图①，以OA为终边的角为eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为(2)如题图②，以OA为终边的角为eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，所以阴影部分内的角的集合为[探究共研型]扇形的弧长及面积问题探究1公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？【提示】公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角.探究2在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明.【提示】已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝eq\f(1,2)lr；又如已知S，α，可利用S＝eq\f(1,2)|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq\f(20－2r,r).由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)·eq\f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10).∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积.【解】∵α＝120×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,3).又r＝6，∴弧长l＝αr＝eq\f(2π,3)×6＝4π.面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π.1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)eq\f(2π,15)＝________；(2)－eq\f(6π,5)＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)eq\f(2π,15)＝eq\f(2,15)×180°＝24°.(2)－eq\f(6π,5)＝－eq\f(6,5)×180°＝－216°.(3)920°＝920×eq\f(π,180)＝eq\f(46,9)πrad.(4)－72°＝－72×eq\f(π,180)＝－eq\f(2π,5)rad.【答案】(1)24°(2)－216°(3)eq\f(46,9)πrad(4)－eq\f(2π,5)rad2.半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________.【解析】S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2·α＝eq\f(1,2)×4×2＝4.【答案】43.圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍.【解析】设圆最初半径为r1，圆心角为α1，弧长为l，圆变化后的半径为r2，圆心角为α2，则α1＝eq\f(l,r1)，α2＝eq\f(l,r2).又r2＝3r1，∴eq\f(α2,α1)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(r1,3r1)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______.【解析】若角α的终边落在x轴的上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z.【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z))))5.设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.【导学号：48582023】【解】(1)∵180°＝πrad，∴α1＝－570°＝－570×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝750×eq\f(π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限.(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3π,5)×eq\f(