西安工业信号检测与估计SDE-10b ch7 最大似然估计Review

MLE:问题的引出MotivationforMLEProblem:MVUEoftendoesnotexistorcan’tbefound.BLUEmaynotbeapplicableifPDFisknown,thenMLEcanbeused。Solution:If

thePDFisknown,thenMLEcanalways

beused!!!Oneofmostpopularpracticalmethods.通用的工程方法Advantages:1.“turn-the-crank”methodtofindit.”转动摇把”总能得到结果2.Optionalforenoughdatasize.当观测数据足够多时，其性能最优。Disadvantages:Notoptimalforsmalldatasize.小数据量时性能差Canbecomputationallycomplex计算复杂mayrequirenumerical“search”methods.用到搜索方法2023/2/51SDE_09MLE似然函数LF概率密度函数PDFp(x)=………………？p(x;A)=………………？p(x,y)=………………？p(x|y)=………………？2023/2/52SDE_09MLEMLE基本原理

RationaleforMLE

Choosetheparametervaluethat:选择待估参数makesthedatayoudidobserve…使得所观测数据themostlikelydatatohavebeenobserved!!!

与那个参数所决定的分布间是最相似的。Consider2possibleparametervalues:θ1&θ2考虑Askthefollowing:

Ifθi

werereallythetruevalue,whatistheprobabilityPithatIwouldgetthedatasetIreallygot?

如果θi是真实值，那么我所得到的数据集的概率是怎样的？SoifPiissmall…itsaysyouactuallygotadatasetthatwasunlikelytooccur!Notagoodguessforθi

!!!p2=p(x;θ2)dx⇒Butp1=p(x;θ1)dx

选择使得达到最大picksothatislargest2023/2/53SDE_09MLEGeneralProceduremaximizesthelikelihoodfunctionlikelihoodfunctionNote:BecauseLn(z)isamonotonicallyincreasingfunction，

alsomaximizesLnp(x;θ)1Findlog-likelihoodfunction;ln

p(x;θ)2对θ求偏导Differentiatew.r.t.θ:3Settozero:=04soleforvalue一般程序GeneralProcedure2023/2/54SDE_09MLE7.5MLE的性质PropertiesofMLETheMLEisasymptotically渐近1unbiased无偏的2efficient有效的3GaussianPDF服从高斯分布的一般而言，如果真的有一个有效估计方法存在，MLE一定能够找到它！

Also,ifatrulyefficientestimatorexist,thentheMLprocedurefindsit!a渐近分布于TheasymptoticpropertiesarecapturedinTheorem7.1:Ifp(x;θ)satisfiessome“regularity”conditions,thentheMLEisasymptoticallydistributedaccordingtowhereI(θ)=FisherInformationMatrix2023/2/55SDE_09MLE蒙特卡洛仿真MonteCarloSimulationIllustratefordeterministicsignals[n;θ]inAWGNDataCollection:1.Selectaparticulartrueparametervalue,挑选一个真值θtrue-youareofteninterestedindoingthisforavarietyofvaluesofθ多个估计值

soyouwouldrunoneMCsimulationforeachθvalueofinterest每个进行一次2.Generatesignalhavingtrueθ:s[n;θt](callitsinmatlab)产生信号值

s[n;θt]

3.GenerateWGNhavingunitvariance产生噪声ww=randn(size(s));4.Formmeasureddata构造观测值

:x=s+sigma*w;-chooseσtogetthedesiredSNR-usuallywanttorunatmanySNRvalues→dooneMCsimulationforeachSNRvalue5.Computeestimatefromdatax

从数据X中计算估计值

6.Repeatsteps3-5Mtimes

重复3～5步M次-(callM“#ofMCruns”orjust“#ofruns”)7.StoreallMestimatesinavectorEST(assumesscalarθ)

保存M个估计值Amethodologyfordoingcomputersimulationstoevaluateperformanceofanyestimationmethod，对于估计质量进行计算机仿真的通用方法NotjustfortheMLE!!!2023/2/56SDE_09MLE蒙特卡洛仿真MonteCarloSimulationcon.StatisticalEvaluation统计计算:1.Computebias计算偏差2.ComputeerrorRMS计算标准差3.ComputetheerrorVariance4.PlotHistogramorScatterPlot(ifdesired)Nowexplore(viaplots)how:Bias,RMS,andVARvarywith:θvalue,SNRvalue,Nvalue,Etc.Today：MonteCarloResultsforMLPhaseEstimation2023/2/57SDE_09MLE7.7:MLE数值的确定NumericalDeterminationofMLE有时无法获得闭合形式的估计公式；采用以下网格搜索法迭代法Newton-Raphson方法、得分法、数学期望最大算法If–1<r<0thenthissignalisadecayingoscillation衰落震动thatmightbeusedtomodel:•AShip’s“HullPing”•AVibratingString,Etc.So…wecan’talwaysfindaclosed-formMLE!找不到闭合形式的解ButamainadvantageofMLEis:Wecanalwaysfinditnumerically!!!(Notalwayscomputationallyefficiently,though)但总可以计算出来而非推导通常情况下，推导出MLE的PDF函数形式是不可能的。2023/2/58SDE_09MLEx(n)=A+w(n)=PDF

X=3.0………估计A假设A为3.4,则p(X;3.4)=p3.4由此求得p3.0p3.1p3.2p3.2p3.3p3.5找到最大的一个px.x,所对应的A，即为MLEBruteForceMethod暴力求解：网格搜索法2023/2/59SDE_09MLEIterativeMethod:Newton-RaphsonMLE2023/2/510SDE_09MLEConvergenceIssuesofNewton-Raphson:1.Maynotconverge可能不收敛2.Mayconverge,buttolocalmaximum可能收敛，但只是局部最佳 -goodinitialguessisneeded!! -canuseroughgridsearchtoinitialize -canusemultipleinitializationsSomeOtherIterativeMLEMethods1.ScoringMethod •Replacessecond-partialtermbyI(θ)2.Expectation-Maximization(EM)Method •Guaranteesconvergencetoatleastalocalmaximum •Goodforcomplicatedmulti-parametercases2023/2/511SDE_09MLE矢量参数MLE的性质PropertiesofVectorMLETheorem7.3:渐近特性

asymptoticpropertiesarea渐近分布于Theorem7.4:MLE的不变性

InvariancepropertyofMLETheorem7.5:MLEforLinearModel

线性模型的MLEx=Hθ+w2023/2/512SDE_09MLE课后大作业：Matlab编程实现对于x(n)=r^n+w(n)；w~N(0,1);已知一组观测值1，0.9，0.81，0.71，0.62；①求r的估计，要求精度达到0.005；②若要求精度达到0.0001，需要多少观测数据？作业发邮箱gropemind@163.com发现抄袭，一律0分，不辨源2023/2/513SDE_09MLE7.10MLEExamples1.距离估计RangeEstimation–sonar,radar,robotics,emitterlocation2.正弦参数估计SinusoidalParameterEstimation(Amp.,Frequency,Phase)–sonar,radar,communicationreceivers(recallDSBExample),etc.3.方位估计BearingEstimation–sonar,radar,emitterlocation2023/2/514SDE_09MLEEx.3.13距离估计RangeEstimationProblem发送脉冲TransmitPulse:s(t)nonzeroovert∈[0,Ts]接收信号ReceiveReflection:s(t.τo)测量延时MeasureTimeDelay:τo声纳、雷达、机器人学、发射区定位sonar,radar,robotics,emitterlocationC-TSignalModel从发射机到目标再返回的双程延迟τo声纳与距离R有关，即τo＝2R/c2023/2/515SDE_09MLE设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)

满足在范围内满足狄利赫利条件

绝对可积，即

信号的总能量有限，即有限个极值有限个断点断点为有限值谱分析：傅立叶变换则的傅里叶变换为：

其反变换为：

称为的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱相位谱2023/2/516SDE_09MLE即能量谱密度帕塞瓦等式2023/2/517SDE_09MLE应用截取函数

随机过程的功率谱密度PSD当x(t)为有限值时，的傅里叶变换存在

应用帕塞瓦等式

除以2T取集合平均2023/2/518SDE_09MLE令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序

功率Q

非负存在（1）Q为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。注意：PSD性质2023/2/519SDE_09MLE两个结论：

1表示时间平均

若平稳2PSD结论2023/2/520SDE_09MLE功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机过程X(t)的功率谱密度。

对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。

对于平稳随机过程，有：

功率谱密度PSDpowerspectraldensity2023/2/521SDE_09MLE例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。

解：不是宽平稳的求功率谱2023/2/522SDE_09MLE（只是记号相同，函数形式不同）例：功率谱密度和复频率面2023/2/523SDE_09MLE确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。

维纳—辛钦定理

若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：功率谱密度与自相关函数之间的关系2023/2/524SDE_09MLE

维纳—辛钦定理的证明2023/2/525SDE_09MLE设则所以：维纳—辛钦定理的证明con2023/2/526SDE_09MLE则

(注意，

且，。因此，通常情况下，第二项为0)

维纳—辛钦定理的证明con2023/2/527SDE_09MLE推论：对于一般的随机过程X(t)，有：

平均功率为：

利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：

维纳—辛钦定理的推论2023/2/528SDE_09MLE

由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。

单边功率谱2023/2/529SDE_09MLE例：平稳随机过程的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。

解：应将积分按＋和－分成两部分进行

求过程的功率谱密度2023/2/530SDE_09MLE例：设为随机相位随机过程其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为求的功率谱密度。求过程的功率谱密度2023/2/531SDE_09MLE解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。求过程的功率谱密度2023/2/532SDE_09MLE例：设随机过程，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。

解：

求过程的功率谱密度2023/2/533SDE_09MLE1功率谱密度为非负的,即

证明：2功率谱密度是的实函数

平稳随机过程功率谱密度的性质3

对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即4

功率谱密度可积，即

2023/2/534SDE_09MLE3

对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数又2023/2/535SDE_09MLE4

功率谱密度可积，即

证明：对于平稳随机过程，有：

平稳随机过程的均方值有限2023/2/536SDE_09MLE二谱分解定理

1谱分解

在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即

2023/2/537SDE_09MLE若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：

2023/2/538SDE_09MLE据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于的零、极点的如下性质：（1）

为实数。

（2）

的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。

（3）的所有零、极点皆为偶重的。

（4）M＜N。

2023/2/539SDE_09MLE2谱分解定理根据上面的性质，可将

分解成两项之积，即：

其中（零极点在s上半平面）（零极点在s下半平面）且谱分解定理

此时2023/2/540SDE_09MLE3为有理函数时的均方值求法（1）利用

（2）直接利用积分公式

（3）查表法（4）留数法2023/2/541SDE_09MLE预备知识：留数定理设为复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点

则：

一阶留数

二阶留数

2023/2/542SDE_09MLE上式积分路径是沿着轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出2023/2/543SDE_09MLE例:

考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度

求过程的均方值解:用复频率的方法来求解。用代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：2023/2/544SDE_09MLE因式分解：

在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为：

故：2023/2/545SDE_09MLE2.2联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：2023/2/546SDE_09MLE因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）

由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:2023/2/547SDE_09MLE注意到上式中，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：

2023/2/548SDE_09MLE

定义互功率谱密度为：则2023/2/549SDE_09MLE同理，有：且2023/2/550SDE_09MLE二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度

F互相关函数互谱密度

F定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为

即2023/2/551SDE_09MLE若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。2023/2/552SDE_09MLE三、互谱密度的性质性质1：证明：

＝

（令）2023/2/553SDE_09MLE性质2：

证明：

（令）

同理可证2023/2/554SDE_09MLE性质3：

证明：类似性质2证明。性质4：

若X(t)与Y(t)正交，则有

证明：若X(t)与Y(t)正交，则所以2023/2/555SDE_09MLE性质5：

若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则

证明：

因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）2023/2/556SDE_09MLE性质6：

例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为:

求互谱密度，。2023/2/557SDE_09MLE解：

2023/2/558SDE_09MLE2.3离散时间随机过程的功率谱密度一离散时间随机过程的功率谱密度1平稳离散时间随机过程的相关函数

设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为:简写为：

2023/2/559SDE_09MLE2平稳离散时间随机过程的功率谱密度

当满足条件式时，我们定义的功率谱密度为的离散傅里叶变换，并记为

T是随机序列相邻各值的时间间隔。

是频率为的周期性连续函数，其周期为

奈奎斯特频率

2023/2/560SDE_09MLE因为为周期函数，周期为，

在时2023/2/561SDE_09MLE3谱分解①z变换定义

在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为的z变换，并记为，即

式中式中，D为在的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。2023/2/562SDE_09MLE②性质

（因为）③谱分解定理

设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数。则可分解为：

其中包含了单位圆之内的全部零点和极点包含了单位圆之外的全部零点和极点2023/2/563SDE_09MLE例：设，求和解：将z=代人上式，即可求得2023/2/564SDE_09MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT2023/2/565SDE_09MLE连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理2023/2/566SDE_09MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样2023/2/567SDE_09MLE其中，T为采样周期，

为在时对的采样。1确知信号的采样定理(香农采样定理)设为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围，当采样周期T小于或等于时，可将展开为二平稳随机过程的采样定理2023/2/568SDE_09MLE连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理2023/2/569SDE_09MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样2023/2/570SDE_09MLE若为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为

，则当满足条件时，可将按它的振幅采样展开为二平稳随机过程的采样定理2023/2/571SDE_09MLE证明:带宽有限，第一步：(1)的带宽也是有限(2)令，则(3)是确知函数，根据维纳-辛钦定理，对，

对应用香农采样定理的，对应用香农采样定理2023/2/572SDE_09MLE第二步：令，则=0(2)这说明，正交又是的线性组合，因此正交2023/2/573SDE_09MLE即

(4)又

(5)(3)第三步：=0即2023/2/574SDE_09MLE第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=02023/2/575SDE_09MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样=自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT2023/2/576SDE_09MLE

若平稳连续时间实随机过程，其自相关函数和功率谱密度分别记为和，对采样后所得离散时间随机过程，的自相关函数和功率谱密度分别记为和，则有

三功率谱密度的采样定理2023/2/577SDE_09MLE证明:(1)

根据定义===由可见，，即样可得==(2)进行等间隔的采对2023/2/578SDE_09MLE连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT平稳随机过程的采样定理功率谱密度的采样定理2023/2/579SDE_09MLE2.4白噪声一、理想白噪声定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在

的整个频率区间，即

其中为一正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称为白噪声。2023/2/580SDE_09MLE自相关函数为

自相关系数为

2023/2/581SDE_09MLE总结：（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。2023/2/582SDE_09MLE二、限带白噪声1．低通型定义：若过程的功率谱密度满足

则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。2023/2/583SDE_09MLE低通型限带白噪声的自相关函数为2023/2/584SDE_09MLE图3.11示出了低通型限带白噪声的和的图形，注意，时间间隔为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为0）。2023/2/585SDE_09MLE2.带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为

由维纳—辛钦定理，得到相应的自相关函数为

2023/2/586SDE_09MLE

带通型限带白噪声的和的图形

2023/2/587SDE_09MLE三、色噪声按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。2023/2/588SDE_09MLE小结

1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：

×但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即若随机过程X(t)平稳，则

2023/2/589SDE_09MLE2.平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求积分（有个系数）；求相关函数后令.

一般过程：3.随机过程的平均功率：即集合平均＋统计平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。2023/2/590SDE_09MLEEx.7.15RangeEstimationProblem2023/2/591SDE_09MLERangeEstimationD-TSignal2023/2/592SDE_09MLERangeEstimationLikelihoodFunctionWhiteandGaussian⇒Independent⇒ProductofPDFs3differentPDFs–oneforeachsubinterval2023/2/593SDE_09MLE2023/2/594SDE_09MLE时域和复频域2023/2/595SDE_09MLERangeEstimationMLE2023/2/596SDE_09MLEEx.2正弦信号参数估计

SinusoidParameterEstimationProblemGivenDTsignalsamplesofasinusoidinnoise….Estimateitsamplitude,frequency,andphase1Ωo

isDTfrequencyincycles/sample:0<Ωo

<πDTWhiteGaussianNoiseZeroMean&Varianceofσ2θ=[AΩo

Φ

]

TMinimizeThisDefineanequivalentparameterset:一对一的变换---不影响变换有效性

α1=Acos(φ)α2=–Asin(φ)2023/2/597SDE_09MLE定义c(Ωo)=[1cos(Ωo)cos(Ωo2)…cos(Ωo(N-1))]Ts(Ωo)=[0sin(Ωo)sin(Ωo2)…sin(Ωo(N-1))]TH(Ωo)=[c(Ωo)s(Ωo)]anNx2matrixJ'(α1,α2,Ωo)=[x–H(Ωo)α]T

[x–H(Ωo)α]则有2023/2/598SDE_09MLESinusoidParms.ExactMLEProcedure2023/2/599SDE_09MLESinusoidParms.Approx.MLEProcedureFirstwelookataspecificstructure:Then…ifΩoisnotnear0orπ,thenapproximately近似−离散时间傅立叶变换DTFTofDatax[n]andSteps2&3become2023/2/5100SDE_09MLETheprocessingisimplementedasfollows:Giventhedata:x[n],n=0,1,2,…,N-11.ComputetheDFTX[m],m=0,1,2,…,M-1ofthedataZero-padtolengthM=4NtoensuredensegridoffrequencypointsUsetheFFTalgorithmforcomputationalefficiency2.FindlocationofpeakUsequadraticinterpolationof|X[m]|3.FindheightatpeakUsequadraticinterpolationof|X[m]|4.FindangleatpeakUselinearinterpolationof∠X[m]2023/2/5101SDE_09MLEEx.3BearingEstimationMLEGrabone“snapshot”ofallMsensorsatasingleinstantts:抓住在某一瞬间ts所有M个传感器的测量值“快照”：SameasSinusoidalEstimation!!与正弦估计相同So…ComputeDFTandFindLocationofPeak!!峰值的位置Ifemittedsignalisnotasinusoid…thenyougetadifferentMLE!!若待估信号不是正弦波，将得到另一种的最大似然估计2023/2/5102SDE_09MLEEstimatingTDOA/FDOASIGNALMODELWillProcessEquivalentLowpasssignal,BW=BHzRepresentingRFsignalwithRFBW=BHzSampledatFs>Bcomplexsamples/secCollectionTimeTsecAteachreceiver:2023/2/5103SDE_09MLEDOPPLER&DELAYMODELUselinearapproximation–assumessmallchangeinvelocityoverobservationintervalForRealBPSignals:TimeScalingTimeDelay:τd2023/2/5104SDE_09MLEDOPPLER&DELAYMODEL(continued)AnalyticSignalsModelNowwhat?Noticethatv<<c=>(1–v/c)≈1Sayv=–300m/s(–670mph)thenv/c=–300/3x108=–10-6=>(1–v/c)=1.000001NowassumeE(t)&φ(t)varyslowlyenoughthatCalledNarrowbandApproximationFortherangeofvofinterest2023/2/5105SDE_09MLEDOPPLER&DELAYMODEL(continued)NarrowbandAnalyticSignalModelConstantPhaseTermα=–ωcτdDopplerShiftTermωd=ωc

v/cCarrierTermTransmittedSignal’sLPESignalTime-ShiftedbyτdNarrowbandLowpassEquivalentSignalModelThisisthesignalthatactuallygetsprocesseddigitally2023/2/5106SDE_09MLECRLBforTDOAWealreadyshowedthattheCRLBfortheactivesensorcaseis:whereBrms

isaneffectivebandwidthofthesignalcomputedfromtheDFTvaluesS[k].Buthereweneedtoestimatethedelaybetweentwonoisysignalsratherthanbetweenanoisyoneandacleanone.Theonlydifferenceintheresultis:replaceSNRbyaneffectiveSNRgivenby2023/2/5107SDE_09MLECRLBforTDOA(cont.)S.Stein,“AlgorithmsforAmbiguityFunctionProcessing,”IEEETrans.onASSP,June1981AmorefamiliarformforthisisintermsoftheC-Tversionoftheproblem:BT=Time-BandwidthProduct(≈N,numberofsamplesinDT)B=NoiseBandwidthofReceiver(Hz)T=CollectionTime(sec)BT

iscalled“CoherentProcessingGain”相干处理增益(SameeffectastheDFTProcessingGainonasinusoid)Forasignalwithrectangularspectrum矩形频谱

ofRFwidthofBs,thentheboundbecomes:2023/2/5108SDE_09MLECRLBforFDOAHerewetakeadvantageofthetime-frequencydualityiftheFT:

whereTrmsisaneffectivedurationofthesignalcomputedfromthesignalsampless[k].Again…weusethesameeffectiveSNR:2023/2/5109SDE_09MLECRLBforFDOA(cont.)S.Stein,“AlgorithmsforAmbiguityFunctionProcessing,”IEEETrans.onASSP,June1981AmorefamiliarformforthisisintermsoftheC-Tversionoftheproblem:ForasignalwithconstantenvelopeofdurationTs,thentheboundbecomes:2023/2/5110SDE_09MLEInterpretingCRLBsforTDOA/FDOAAmorefamiliarformforthisisintermsoftheC-Tversionoftheproblem:

BTpullsthesignalupoutofthenoiseLargeBrmsimprovesTDOAaccuracy提高TDOA精度LargeTrmsimprovesFDOAaccuracy提高FDOA精度TwoExamplesofAccuracyBounds:精度定界2023/2/5111SDE_09MLEMLEforTDOA/FDOAS.Stein,“DifferentialDelay/DopplerMLEstimationwithUnknownSignals,”IEEETrans.onSP,August1993WealreadyshowedthattheMLEstimateofdelayfortheactivesensorcaseistheCross-Correlationofthetimesignals.Bythetime-frequencydualitytheMLestimatefordopplershiftshouldbeCross-CorrelationoftheFT,whichismathematicallyequivalenttoTheMLestimateoftheTDOA/FDOAhasbeenshowntobe:2023/2/5112SDE_09MLEMLEstimatorforTDOA/FDOA(cont.)2023/2/5113SDE_09MLEMLEstimatorforTDOA/FDOA(cont.)HowwelldoweexpecttheCross-CorrelationProcessingtoperform?Well…itistheMLestimatorsoitisnotnecessarilyoptimum.But…weknowthatanMLestimateisasymptotically•Unbiased&Efficient(thatmeansitachievestheCRLB)•GaussianThosearesomeVERYnicepropertiesthatwecanmakeuseofinourlocationaccuracyanalysis!!!2023/2/5114SDE_09MLEPropertiesoftheCAF2023/2/5115SDE_09MLETDOAACCURACYREVISITEDTDOAAccuracydependson:»EffectiveSNR:SNReff»RMSWidths:Brms=RMSBandwidthLowEffectiveSNRCausesSpuriousPeaksOnXcorrFunctionNarrowXcorrFunctionLessSusceptibletoSpuriousPeaks2023/2/5116SDE_09MLEFDOAACCURACYREVISITEDFDOAAccuracydependson:»EffectiveSNR:SNReff»RMSWidths:Drms=RMSDurationLowEffectiveSNRCausesSpuriousPeaksOnXcorrFunctionNarrowXcorrFunctionLessSusceptibletoSpuriousPeaks2023/2/5117SDE_09MLECOMPUTINGTHEAMBIGUITYFUNCTIONDirectcomputationbasedontheequationfortheambiguityfunctionleadstocomputationallyinefficientmethods.Incoursenotesweshowedhowtousedecimationtoefficientlycomputetheambiguityfunction2023/2/5118SDE_09MLEEstimatingGeo-Location2023/2/5119SDE_09MLETDOA/FDOALOCATIONCentralizedNetworkofP•“P-Choose-2”Pairs#“P-Choose-2”TDOAMeasurements#“P-Choose-2”FDOAMeasurements•Warning:WatchoutforCorrelation

EffectDuetoSignal-Data-In-Common2023/2/5120SDE_09MLETDOA/FDOALOCATIONPair-WiseNetworkofP•P/2Pairs#P/2TDOAMeasurements#P/2FDOAMeasurements•ManywaystoselectP/2pairs•Warning:Notallpairingsareequallygood!!!TheDashedPairsareBetter2023/2/5121SDE_09MLETDOA/FDOAMeasurementModelGivenNTDOA/FDOAmeasurementswithcorresponding2×2Cov.MatricesAssumepair-wisenetwork,so…TDOA/FDOApairsareuncorrelatedFornotationalpurposes…definethe2Nmeasurementsr(n)n=1,2,…,2NDataVectorNow,thosearetheTDOA/FDOAestimates…sothetruevaluesarenotatedas:“Signal”Vector2023/2/5122SDE_09MLETDOA/FDOAMeasurementModel(cont.)Eachofthesemeasurementsr(n)hasanerrorε(n)associatedwithit,so…r=s+εBecausethesemeasurementswereestimatedusinganMLestimator(withsufficientlylargenumberofsignalsamples)weknowthaterrorvectorεisazero-meanGaussianvectorwithcov.matrixCgivenby:AssumesthatTDOA/FDOApairsareuncorrelated!!!andtransmitfrequencyThetrueTDOA/FDOAvaluesdependon:EmitterParms:2023/2/5123SDE_09MLETDOA/FDOAMeasurementModel(cont.)Here