高中数学人教A版第三章函数的应用 第29课时

第29课时几类不同增长的函数模型课时目标1.掌握常见增函数的定义、图象、性质并体会其增长快慢．2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸增长的含义．识记强化1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x增大逐渐与y轴平行随x增大逐渐与x轴平行随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数模型是()x34567yA.一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数答案：C解析：画出图形，如图所示．随着自变量x的增加，函数值y以“爆炸”式的速度增长，故为指数型函数模型．2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x23456y＝log2xB．y＝2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1)D．y＝答案：A解析：解，对于A，函数y＝log2x，是对数函数，增长速度缓慢，且在x＝2时y＝1，x＝4时y＝2，基本符合要求；对于B，函数y＝2x是指数函数，增长速度很快，且在x＝2时y＝4，x＝4时y＝16，代入值偏差较大，不符合要求；对于C，函数y＝eq\f(1,2)(x2－1)是二次函数，且当x＝2时y＝，x＝4时y＝，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数y＝是周期函数，且在[2,3]内是减函数，x＝3时y＜0，x＝4时y＜0，不符合要求．故选A.3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时答案：C解析：设共分裂了x次，则有2x＝4096.∴2x＝212，即x＝12.又∵每次15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3小时．4．某公司营销人员的月收入与其每月的销售量成一次函数关系，已知销售1万件时，收入为800元，销售3万件时，收入为1600元，那么没有销售时其收入为()A．200元B．400元C．600元D．800元答案：B解析：设月收入y元与销售量x万件之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将已知条件代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800＝k·1＋b,1600＝k·3＋b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝400,b＝400))，∴y＝400x＋400，当x＝0时，y＝400.因此，营销人员在没有销售时的收入是400元．5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若年平均减少率相等，按此规律，设2023年的湖水量为m，从2023年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()A．y＝B．y＝(1－mC．y＝D．y＝(1－m答案：C解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝，所以q%＝，所以x年后的湖水量y＝.6.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的命题个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：由图象可知①②⑤正确．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________．答案：ax＞xn＞logax解析：由教材结论易知ax＞xn＞logax.8．一个水池每小时注入水量是全池的eq\f(1,10)，水池还没注水部分的总量y随注水时间x变化的关系式是________．答案：y＝1－eq\f(1,10)x(0≤x≤10)解析：依题意列出函数式即可．9．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为________．答案：y＝20－2x(5＜x＜10)解析：周长＝20＝y＋2x，故得y＝20－2x，又y＞0，得x＜10.又三角形两边之和大于第三边，有2x＞y，即2x＞20－2x，得x＞5.∴5＜x＜10.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)某货物，如果月初售出可获利100元，再将本利都投资，已知投资获得的月利率为%.如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元．问这种货物是月初售出好，还是月末售出好？解：设这种货物的成本费为a元，则若月初售出，到月末可获利y1＝100＋(a＋100)×%＝＋；若月末售出，可获利y2＝120－5＝115(元)．又y1－y2＝－＝(a－525)，所以当a>525时，y1>y2；当a＝525时，y1＝y2；当a<525时，y1<y2.故当成本大于525元时，月初售出好；当成本为525元时，月初售出与月末售出获利相等；当成本小于525元时，月末售出好．11．(13分)某工厂今年1月、2月、3月分别生产某产品1万件、万件、万件．为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(单位：万件)与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为万件，请问：用以上哪个函数作模拟函数较好？并说明理由．解：设二次函数y＝Ax2＋Bx＋C(A≠0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＋C＝1,4A＋2B＋C＝，,9A＋3B＋C＝)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－,B＝,C＝)，所以二次函数为y＝－＋＋，当x＝4时，y＝；若y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1,ab2＋c＝，,ab3＋c＝)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－,b＝,c＝)，即y＝－×＋，当x＝4时，y＝－×＋＝.由此可知，用函数y＝－×＋作模拟函数比较好．能力提升12．(5分)拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，如[4]＝4，[]＝3，[]＝4，则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为()A．B．C．D．答案：C解析：f＝××[]＋1)＝××6＋1)＝.13．(15分)森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q＝50log2eq\f(S,10).(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0)，则森林面积至少多少个单位？(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单