高中数学人教A版第二章平面向量 优质课奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/s B．2eq\r(26)m/sC．4eq\r(6)m/s D．12m/s解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq\r(v2－2v·v1＋veq\o\al(2,1))＝2eq\r(26)(m/s)．答案：B2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．答案：B3．已知四边形ABCD各顶点坐标是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－2))，则四边形ABCD是()A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AB∥DC，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋\f(64,9))＝eq\f(10,3)，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝eq\r(9＋16)＝5，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(DC,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD是梯形．答案：A4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝5，则AC的长为()A．1 B．2C．3 D．4解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)eq\o(AC2,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→))，即eq\f(1,4)eq\o(AC2,\s\up6(→))＝1.∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，即AC＝2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝，高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝m/s2)．解析：物体m的位移大小为|s|＝eq\f(2,sin37°)＝eq\f(10,3)(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos53°＝5××eq\f(10,3)×＝98(J)．答案：0986．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________．解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝10，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：10N7．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时P点的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标是________．解析：由题意可知，5秒后eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－10，10)＋5v＝(10，－5)，即P点坐标(10，－5)．答案：(10，－5)三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))，C(0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a，\f(2,3)a)).因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a,2)))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a，\f(2,3)a)).所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝－a·eq\f(1,3)a＋eq\f(a,2)·eq\f(2,3)a＝0，所以eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，即AD⊥CE.9．某人在静水中游泳时，速度为8km/h，如果河水流速为4km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解析：如图所示，设此人实际速度为eq\o(OB,\s\up6(→))，水流速度为eq\o(OA,\s\up6(→))，∵实际速度＝游速＋水速，∴游速＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→