高中数学人教A版第一章集合与函数概念函数及其表示 公开课

4．函数的概念唐雪梅学习目标1．体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2．了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单的定义域和值域．3．能用区间正确表示一个数集（包括运算）．一、夯实基础基础梳理1．函数的概念设、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到时集合的一个函数．记作：，．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2．区间的概念及表示（1）区间定义及表示设，是两个实数，而且．定义名称符合数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间（2）无穷概念及无穷区间表示定义符号3．题型分析（1）函数的概念；（2）函数的三要素：定义域、对应法则及值域．基础达标1．下列从集合到集合的对应，不是函数的是__________．（1），，对应关系；（2），，对应关系；（3），，对应关系由解出的；（4），，对应关系．2．下列函数中哪个函数与函数是同一函数（）．A． B． C． D．3．下列所给图象中，能作为函数图象的只能是（）．4．函数，的值域是（）．A． B． C． D．5．已知函数，则__________；__________．二、学习指引自主探究1．初中，我们是这样定义函数的：在某变化过程中，有两个变量，，如果对于变量4的每一个允许取值，按照某种对应方式，都有唯一的取值与之对应，则称是的函数．请思考初中关于定义与高中关于函数的定义有什么区别和联系？2．（1）若，试找出一个集合，使得是从到的函数，这个的集合是唯一的吗？（2）已知一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．3．（1）符号，表示某一函数？则该函数可否用，表示？（2）函数有哪些要素？如何判断两个函数是否为相同的函数？4．函数的自变量的取值范围为，关于其定义域的写法，下列哪些是规范的？①定义域为； ②定义域为； ③定义域为④定义域为； ⑤定义域为；5．（1）说出你对“区间”理解．（2）“区间一定是非空数集”这句话对吗？（3）集合能写成区间形式吗？案例分析1．给出下列从集合到集合的对应：（1），，，，；（2），，，；（3），；（4），；（5），，为奇数时，；为偶数时，．则从集合到集合的对应是函数的有__________（写上相应的序号即可）．【解析】（1）（2）（3）（4）是函数，（3）不是函数．2．已知函数与分别由下表给出，那么__________．__________．__________．__________．1234234112342143【解析】；2；3；4．3．求函数的定义域．【解析】要使函数解析有意义，当且仅当，所以函数定义域为：．4．画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：（1）求函数，的值域；（2）求函数，的值域．（3）若函数的定义域为，值域为，求的取值范围．【解析】（1）画出二次函数在上的图象，时，；时，，容易看出函数的值域为．（2）画出二次函数在上的图象，时，；时，，容易看出函数的值域为．（3）画出二次函数图象，其顶点坐标为，时，或3，容易看出当且仅当，，，值域为，故的取值范围是．三、能力提升能力闯关1．已知函数，，那么集合中所含元素的个数是（）．A．0个 B．1个 C．0或1个 D．0或1或无数个2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么，函数解析式为，值域为的同族函数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．求下列函数的值域:（1），；（2），；（3），；拓展迁移1．已知函数的定义域为，试研究的值域中有多少个整数，为什么？2．对于定义域为函数，若存在实数，使得，则称是函数的一个不动点．若二次函数存在不动点，求实数的取值范围．挑战极限1．（1）（2023陕西）定义在上的函数，对任意的实数，满足，，求的值．（2）设是定义在上的函数，且满足，，求的值．课程小结1．客观世界充满着函数问题，无论是物体运动，还是经济生活，无论是生命科学，还是航天科学都有大量的函数问题等待我们去研究，学好函数知识对于学好高中数学极为重要，而正确理解函数概念和符号是学好函数知识的基础，应高度重视这一点．2．判断两个函数是否相同，主要是看函数的三要素：定义域，对应法则，值域．3．根据解析式，确定函数的定义域，可根据下列提示处理：（1）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．（2）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子女大于或等于零的实数的集合．（3）如果是由几个部分的数学式构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）．求函数的定义域就是根据使函数解析式有意义的条件，列出自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求函数的定义域．4．已学过的函数的定义域和值域：（1）一次函数，定义域：；值域：；（2）反比例函，定义域：，值域：；（3）二次函数，定义域：；值域：当时，为；当时，为．5．研究函数值域，最基本的方法是通过函数图象来观察函数值变化范围．想一想任何两个集合之间都可能建立函数关系吗？

4．函数的概念基础达标1．（1）（2）（3）．2．．3．．4．．5．；自主探究【解析】区别：初中函数的定义强调函数是变量与变量之间的对应关系，而高中函数的定义则强调函数是数集与数集之间的对应关系．初中的函数概念侧重函数解析式研究（即变量与变量之间的确定关系），而高中的函数概念侧重研究两个数集元素之间的对应关系．函数可以没有解析式．高中研究函数时，不仅关注函数对应法则（函数解析式本质上是函数对应法则一种表现形式）．还关注函数定义域，如函数．2．【解析】（1）（答案不唯一，的非空子集都符合题意）．（2）无数个，例如：；．3．【解析】（1）可以，表示某一函数，变量是一种符号，没有固定的限制，我们只是通常用来表示变量．（2）函数有三个要素：定义域、对应法则、值域．函数的值域是由函数定义域及对应法则决定的，因此两个函数是同一函数当且仅当对应法则相同，定义域也相同．当然如果值域不相同，则两个函数一定不是同一函数．4．【解析】④⑤正确，定义域是自变量取值的集合．5．【解析】（1）区间是一种特殊的数集，根据端点是否被包含，区间可以分成四类，设是两个实数，且，我们规定：①开区间：；②闭区间：；③半开半闭区间：；④含有无穷大的区间：；；；．实数集也可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．从上述规定可以看出：区间是一种特殊的数集，这种特殊性表现在：（1）数集中的数是连续变化的，不会发生中断情形；（2）数集中的数一定有无穷个，不会只有一个或有限个元素，不会是空集．区间在写法上是按数轴的方向书写，左小右大，无穷大可理解为一个无限的过程，不是一个具体的实数，所以无穷大这一侧一律写成开区间．（2）根据区间的定义，“区间一定是非空数集”这句话是错的．（3）不一定能写成区间形式，只有当时，才有．例如是空集，它不能写成区间的形式．能力闯关1．．【解析】垂直于轴的直线与函数的图象最多只有一个交点．2．．【解析】由．得．由，得，所以函数的定义域可以是，，，故值域为的同族函数共有个．3．【解析】（1）函数图象如图（1），，所以所求函数值域为．（2）函数图象如右图（2），，所以所求函数值域为．（3）∵，∴所求函数值域为．拓展迁移