高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 第2章2

2．2椭圆2．椭圆的标准方程[学习目标]1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的________条件．答案必要不充分解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有PA＋PB＝2a(a>0且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若PA＋PB＝2a(a>0且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>AB时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝AB时，P点的轨迹是线段AB；当2a<AB时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b2

要点一用待定系数法求椭圆的标准方程例1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．解(1)方法一∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－0))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－0))2)＝2eq\r(10)，∴a＝eq\r(10).又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.方法二设标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,4a2)＋\f(9,4b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝10，,b2＝6.))∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.(2)方法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0,a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(0,b2)＝1，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))与a>b矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.方法二设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m＝1，,n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))综上可知，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因为2a＝eq\r(5＋32＋02)＋eq\r(5－32＋02)＝10,2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.要点二由方程确定曲线的类型例2当3<k<9时，指出方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1所表示的曲线．解∵3<k<9，∴9－k>0且k－3>0.(1)若9－k>k－3，即3<k<6时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)若9－k＝k－3，即k＝6时，则方程表示圆x2＋y2＝3；(3)若9－k<k－3，即6<k<9时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．规律方法本题易错点是没有讨论“k＝6”以及焦点在哪个坐标轴上．跟踪演练2方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m－12)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．解由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2>0，,m－12>0，,m－12>m2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,m≠1，,m<\f(1,2)，))故所求实数m的取值范围为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).要点三与椭圆有关的轨迹问题例3已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示．由BC＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．由AB＋AC＋BC＝18，得AB＋AC＝10＞BC＝8，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10；但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．规律方法利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.跟踪演练3已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB)．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．答案线段解析∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．2．若方程eq\f(x2,25－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．答案8<m<25解析依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25－m>0，,m＋9>0，,m＋9>25－m，))解得8<m<25，即实数m的取值范围是8<m<25.3．“1<m<3”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆”的________________条件．答案即不充分又不必要解析当方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆时，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,3－m>0，,m－1≠3－m，))所以1<m<3且m≠2；当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．4．已知椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则PF1·PF2＝________.答案48解析依题意a＝7，b＝2eq\r(6)，c＝eq\r(49－24)＝5，F1F2＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，∴由勾股定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，即PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝100.又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．一、基础达标1．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．答案18解析△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝eq\r(25－9)＝4，所以周长为10＋8＝18.2．椭圆eq\f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．答案8解析由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.3．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的方程是________．答案x2＋eq\f(y2,25)＝1解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).))∴椭圆方程为x2＋eq\f(y2,25)＝1.4．设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是________三角形．答案直角解析由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝8.又PF1－PF2＝2，∴PF1＝5，PF2＝3.又F1F2＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2为直角三角形．5．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．答案eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝eq\f(b2,a2)，设直线方程为y＝eq\f(b2,a2)(x－3)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝eq\f(6b2,a2＋b2)＝2；又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.6．已知P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P点的坐标是________．答案(eq\f(25,9)，±eq\f(8,9)eq\r(14))解析c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，椭圆的左焦点为(－3,0)、右焦点为(3,0)．设P点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1，,\r(x＋32＋y2)＝2\r(x－32＋y2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(25,9)，,y＝±\f(8,9)\r(14).))7．已知椭圆两焦点为F1、F2，a＝eq\f(3,2)，过F1作直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的周长．解如图所示，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，又∵a＝eq\f(3,2).∴△ABF2的周长为AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝6.二、能力提升8．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________________．答案(－6，－2)∪(3，＋∞)解析∵椭圆焦点在x轴上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a＋6，,a＋6>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2a－3>0，,a>－6，))⇔a>3或－6<a<－2.9．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，则点P的轨迹是________．答案椭圆或线段解析∵a＋eq\f(9,a)≥2eq\r(a·\f(9,a))＝6，当且仅当a＝eq\f(9,a)，即a＝3时取等号，∴当a＝3时，PF1＋PF2＝6＝F1F2，点P的轨迹是线段F1F2；当a>0，且a≠3时，PF1＋PF2>6＝F1F2，点P的轨迹是椭圆．10．F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．答案eq\f(7,2)解析∵eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1，∴a2＝9，b2＝7，c2＝2.∴a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2).∴F1F2＝2eq\r(2).设AF1＝x，则AF2＝6－x，∵∠AF1F2＝45°，∴(6－x)2＝x2＋8－4eq\r(2)x·eq\f(\r(2),2).∴x＝eq\f(7,2).∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(7,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝0，而eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c,3)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5