高中数学北师大版第二章解析几何初步单元测试学业分层测评24

学业分层测评(二十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为()\r(61)B．25C．5\r(57)【解析】|AB|＝eq\r(1＋22＋3－32＋－2－22)＝5.【答案】C2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9 \r(29)C．5 D．2eq\r(6)【解析】由已知可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝eq\r(4－02＋0－22＋0－32)＝eq\r(29).【答案】B3．如图2­3­13，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()图2­3­13\r(2)a \f(\r(2),2)aC．a \f(1,2)a【解析】由题意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，则|EF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)))\s\up14(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))\s\up14(2))＝eq\f(\r(2),2)a.【答案】B4．设点P在x轴上，它到P1(0,eq\r(2)，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为()A．(1,0,0) B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0) D．(1,0,0)或(－1,0,0)【解析】∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)，解得x＝±1，∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．【答案】D5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是()A．3eq\r(3) B．3eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)【解析】|AB|＝eq\r(1－2a2＋a＋72＋－5＋22)＝eq\r(5a＋12＋54)≥eq\r(54)＝3eq\r(6).【答案】B二、填空题6．点P(x，y，z)到点A(－1,2,3)，B(0,0,5)两点的距离相等，则x、y、z满足______．【解析】由|PA|＝|PB|，可得eq\r(x＋12＋y－22＋z－32)＝eq\r(x2＋y2＋z－52)，整理得2x－4y＋4z－11＝0.【答案】2x－4y＋4z－11＝07．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．【解析】设正方体棱长为a，则eq\r(a2＋a2＋a2)＝|AB|＝eq\r(42＋－42＋42)，所以a＝4，V＝43＝64.【答案】648．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝________.【解析】由距离公式|AB|＝eq\r(2－12＋1－12＋1－22)＝eq\r(2)；|AC|＝eq\r(2－x2＋1－02＋1－12)＝eq\r(2－x2＋1)；|BC|＝eq\r(1－x2＋1－02＋2－12)＝eq\r(1－x2＋2)；∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.【答案】2三、解答题9．如图2­3­14，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝2，DC＝4，DD1＝3，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长.【导学号：10690074】图2­3­14【解】以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，∴|AD1|＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，|AB1|＝eq\r(2－22＋42＋32)＝5，|AC1|＝eq\r(2－02＋－42＋－32)＝eq\r(29).10．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．【解】∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP|＝eq\r(a＋32＋2a－42＋52)＝eq\r(5a2－10a＋50)＝eq\r(5a－12＋45)，∴当a＝1时，|MP|取最小值3eq\r(5)，此时M(1,2,0)．即M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3eq\r(5).[能力提升]1．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．无数【解析】由两点间距离公式可得|AB|＝eq\r(26)，|BC|＝eq\r(74)，|AC|＝eq\r(26)，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．【答案】D2．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2,3，eq\r(3))，则|PA|的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5【解析】x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O、P、A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)－1＝4－1＝3.【答案】B3．(2023·徐州高一检测)对于任意实数x、y、z，eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋32＋y＋22＋z－12)的最小值为______．【解析】结合空间直角坐标系中任意两点的距离公式，可得eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋32＋y＋22＋z－12)表示的几何意义是空间内任意一点M(x，y，z)与原点O(0,0,0)及定点A(－3，－2,1)的距离之和，显然当O，M，A三点共线时，|OM|＋|MA|最小，最小值为|OA|＝eq\r(－3－02＋－2－02＋1－02)＝eq\r(14).【答案】eq\r(14)4．已知正三棱锥A­BCD，高为1，底面正三角形边长为eq\r(3)，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．【解】设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．如图以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为z轴，以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，设CD中点为E，由BC＝eq\r(3)，O为△BCD中心可知，|OB|＝eq\f(2,3)|BE|＝eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)|BC|＝1，|OE|＝eq\f(1,2)|OB|＝eq\f(1,2)，∴B(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0)).又|CE|＝|ED|＝eq\f(\r(3),2)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，0)).又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1)．由两点间的距离公式|AB|＝eq\r