高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试 学业分层测评9

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·葫芦岛模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解析】由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β.由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l.【答案】D2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()①eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m∥n,m⊥α))⇒n⊥α； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m⊥α,n⊥α))⇒m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m⊥α,n∥α))⇒m⊥n; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\al(m∥α,m⊥n))⇒n⊥α.A．1 B．2C．3 D．4【解析】①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．【答案】C3．(2023·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解析】A，B，D中，m与平面α可能平行、相交或m在平面α内；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α.故选C.【答案】C4.(2023·蚌埠高一检测)如图1­6­29，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()图1­6­29A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段【解析】连接AC，PC，∵BD1⊥AC，BD1⊥AP，∴BD1⊥平面APC，∴BD1⊥PC，而在平面BCC1B1中，BD1⊥B1C，∴P在线段B1C上运动，即点P的轨迹是线段B1C.【答案】A5．如图1­6­30，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列命题正确的是()【导学号：10690026】图1­6­30A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.【答案】D二、填空题6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．【解析】过a作平面γ与平面α相交于a′.∵a∥α，∴a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.又α⊥β且α∩β＝AB，a′α，∴a′⊥β，∴a⊥β.【答案】a⊥β7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，则CD的长为______cm.【解析】如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，∴AD＝eq\r(122＋42)＝4eq\r(10)cm.又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，∴CA⊥β，∴△CAD为直角三角形，∴CD＝eq\r(CA2＋AD2)＝eq\r(32＋42×10)＝eq\r(169)＝13(cm)．【答案】138．如图1­6­31，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________．图1­6­31【解析】如图，取BD的中点E，连接AE、CE.由AB＝AD，得AE⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE平面ABD，∴AE⊥平面BCD，∴EC为AC在平面BCD上的射影，∠ACE即为AC与平面BCD所成的角．∵在Rt△BCD中，E为BD的中点，∴CE＝BE.又AE＝BE，∴在Rt△ACE中，AE＝CE，∠ACE＝45°.∴AC与平面BCD所成的角为45°.【答案】45°三、解答题9．如图1­6­32三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.图1­6­32【证明】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图1­6­33，已知四棱锥P­ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面与BD是否相互垂直，请证明你的结论．图1­6­33【解】PA与BD垂直，证明如下：如图，取BC的中点O，连接PO，AO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，∴PA与BD相互垂直．[能力提升]1．已知平面α、β、γ，直线l、m满足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，那么在①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中，可以由上述已知推出的有()A．①和② B．②和③C．①和③ D．②【解析】一方面，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\al(α⊥γ，,γ∩α＝m，,l⊥m，lγ，))所以l⊥α，故②是正确的．另一方面，如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，把AA1记作l，把平面AB1记作β，把平面AC1记作γ，把平面A1B1C1记作α，把直线A1C1记作m，就可以否定①与③，故选D.【答案】D2．如图1­6­34，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：图1­6­34①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与② B．①与③C．②与③ D．③与④【解析】由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.【答案】B3．(2023·济南高一检测)如图1­6­35，四面体P­ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.图1­6­35【解析】取AB的中点E，连接PE，∵PA＝PB，∴PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，连接CE，∴PE⊥CE，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.【答案】74．(2023·抚宁模拟)如图1­6­36，三棱锥A­BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)．图1­6­36(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.【解】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥