沪教版八年级上册-线段垂直平分线及角平分线讲义

创新三维学习法让您全面发展创新三维学习法让您全面发展基本内容线段的垂直平分线及角的平分线知识精要一、线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。二、角的平分线1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3、角平分线可以看作是在这个角内部（包括顶点）到角两边的距离相等的点的集合提问：在使用角平分线的性质定理及其逆定理时，应注意哪些方面？回答：必须有两个垂直的条件，若缺少垂直条件时，可考虑添加辅助线；热身练习所以BE=FC3、如图△ABC的外角平分线NDBC、NECB的平分线相交于点F,求证：点F在NA的平分线上证明：过F作AE的垂线交于点M,作AD的垂线交于点N,作BC的垂线交于点O因为CF是/ECB平分线，所以MF=FOABD因为FB是/DBC平分线，所以NF=FO所以MF=NF,又因为MF垂直AE,NF垂直AD所以AF是NA的平分线4、如图，过^ABC的边BC的中点M,作直线平行于NA的平分线AA’,而交直线AB于E、F,求证:CF=1/2(AB+AC)证明：延长FM到点G，使FM=MG，连接BGTOC\o"1-5"\h\z•・,M为BC的中点ABMG二ACMF二BG=CF5又•「AA’平分NBAC且EM〃AA',/,AJ/・•./E=/BAA，=ZA'AF=/AFE=/CFG=/G「・，.AE=AF,BE=BG=CF/]「BE=AB+AE,CF=AC-AFB&MC・•・AB+AC=BE+CF=2CF.•・CF=1/2(AB+AC)5、如图，求作点P,使P到C、D的距离相等，同时到角两边的距离也相等解：先作线段DC的垂直平分线，再作NA的平分线，两直线所交的点即为点P精解名题

例1、如图，AD是^ABC的角平分线，EF是AD的中垂线，求证：(1)NEAD=NEDA；(2)DF〃AC；(3)ZEAC=ZB证明：（1）因为EF是AD的中垂线所以AE=DE,所以NEAD=NEDA（2）因为EF是AD的中垂线，所以FA=FD所以NFAD=NFDA又因为AD是角平分线，所以NFAD=NDACA所以/尸口人=/口人0所以DF〃AC(3)因为NEDA=NB+NBAD；ZEAD=ZEAC+ZDAC又因为N又因为NEAD=NEDA,NBAD=NDAC；BDCVBM平分VBM平分/ABC,CM平分/ACB,.MF=MG,MG=MH即MF=MH•AM平分/BAC同理AN平分/BACAEDMBNC所以NB=NEAC；例2、AP、BP分别平分NDAB、NCBA,PM，AD于点M,PN±BC于点N,求证：点P在线段MN的垂直平分线上.证明：过点P作PEXAB于点E,连接MN・,AP平分NDAB・•・PM=PE・,BP平分NCBA・•・PE=PN.•・PM=PN•.点P在线段MN的垂直平分线上例3、如图，在4ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BM平分NABC,CM平分NACB,EN平分/BED,DN平分NEDC。求证：A、M、N三点在一条直线上.证明：过点M作MF1AB,MG±BC,MH±AC垂足分别为F,G,H,过点N作NI1AB,NJ1ED,NK1AC,垂足分别为I,J,K,•・A、M、N三点在一条直线上.例4、一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一直线上，（1）求证：AB1ED；并给予证明(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明NANP=NDNC,ND+NDNC=90所以NA+NANP=90,所以NAPN=90,即AB±ED(NANP=NDNC,ND+NDNC=90所以NA+NANP=90,所以NAPN=90,即AB±ED(2)AABC=ADPB备选例题1、证明下列命题：(1)三角形的三条角平分线交于一点；(2)三角形三条边的垂直平分线交于一点。解析：证明三条直线交于同一个点，没有公理或定理可直接应用，帮通常采用如下的方法：找出两条直线的交点，证明这个点也在第三条直线上。证明：(1)如图，设⑪、8£是4ABC的两条角平分线，相交于点H,过H作三角形三边的垂线，垂足分别M、N、P因为H在NBAC的平分线上，所以HM=HN同理HN=HP^HM=HP由H到边CA、BC的距离相等，可知H在NACB的平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。(2)在^ABC中，设边AB、BC的垂直平分线DP、EP交于点P,边结PA、PB、PC因为P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,同理PB=PC,所以PA=PC所以P在AC的垂直平分线上，即三角形三条边的垂直平分线交于一点。巩固练习1、如图，AP平分/BAC,且PE1、如图，AP平分/BAC,且PE±AB,PF±AC,PE=3，贝|PF=第1题第3题第4题2、在4ABC中，NC=90°,BD是/ABC的平分线.已知，AC=32,且AD：DC=5：3,则点D到AB的距离为123、如图，在RtAABC中，NC=90°,AC=BC,AD是/CAB的角平分线，口£，八3.若八3=8,则4DEB的周长是84、如图，在4ABC中，OB平分/ABC，OC平分/ACB，MNIIBC且过点0,若AB=8,AC=7,贝4^AMN的周长是155、如图，在^ABC中，AD是角平分线，EF是AD的垂直平分线，垂足为E，EF交BC的延长线证明：因为EF是AD的垂直平分线，所以AF=DFA于点F，求证：N证明：因为EF是AD的垂直平分线，所以AF=DFA因为AD是角平分线，所以NBAD=N因为AD是角平分线，所以NBAD=NDAC因为NADF=NB+NBADNDAF=NCAF+NDAC所以NB=NCAF6、已知在△ABC中，AD平分NBAC,DE,AB于点E，DF,AC于点F，求证：AD垂直平分EF。证明：在AAED和AA方D中/AED=/AFD=30oAD=AD・•.AAED=AAFD.•・AE=AF,DE=DF

・•.点A和D在线段EF的垂直平分线AAD垂直平分EF7、在AABC中，/C=900,DE垂直平分人8于点E,交BC于点D,且ED=CD,求证：/B=30。。证明VDEXAB,DCLAC,证明VDEXAB,DCLAC,且DE二DC8、BN平分/ABC,P为BN上的一点，PD1BC于点D,AB+BC=2BD,求证：ZBAP+ZBCP=1800.证明：过点P作PELBA,交BA延长线于点E在ABPE和ABPD中ZPEB=ZPDB=90°VZPBAVZPBA=ZPBDAABPE=ABPD(AAS)BP=BPABE=BD,PE=PD:AB+BC=AB+BD+DC=2BDAAB+DC=BD=BE=AB+AEADC=AE:ZAAB+DC=BD=BE=AB+AEADC=AE:ZPDC=ZPEA=90°,PD=PEAAPDC=APEAAZPAE=ZBCP=90°:ZBAP+ZPAE=180°AZBAP+ZBCP=90°自我测试则PD与PC的大小关系为（1、如图，0P是NAOB的角平分线，PC±AO,则PD与PC的大小关系为（A、PC>PDA、PC>PDB、PC=PDC、PC<PDD、不能确定第1题第2题第3题2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（C）A、在AC、BC两边高线的交点处B.、在AC、BC两边中线的交点处C、在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.、在NA、NB的角平分线的交点处3、如图，CD是RtAABC斜边AB上的高，将^BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则NA等于（B）（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半A、25°BA、25°B、30°C、45°D、60°4、如图，在4ABC中，AB=AC,NA=108°,（1）若BD平分NABC,求证：BC=AB+CD；（2）若D在AC上且BC=AB+CD,求证：80平分/人8（3证明：（1）在BC上截取BE=BA,连接DE先证AABD二AEBD・•./BED=/A=108。・•./BEC=72。,?AB=AC・•・/ABC=/C=18°。一108°=36。・•./EDC=108。一36。=72。=/DEC・•・CD=CE.•・BC=BE+EC=AB+CD(2)证明在BC上截取BE=BA,连接DE,AEVAB=AC,ZBAC=108°AZABC=ZC=36°•・•BC=BE+EC=AB+EC=AB+CD•.EC=CD.•・/CDE=/DEC=72。•./BED=180。一72。=108。=/A••BA=BE.•・/BAE=/BEA

•・/EAD:/DAEADA=DEABD垂直平分AEABD平分/ABC5、已知如图，在45、已知如图，在4ABC中，AD平分NBAC,交BC