高中数学人教B版5第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 第2章柯西不等式

柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题.[基础·初探]教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2))≥(a1b1＋a2b2)2.2.柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.3.柯西不等式的三角不等式：|α|＋|β|≥|α＋β|.4.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))eq\s\up12(\f(1,2))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))eq\s\up12(\f(1,2))≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等号成立⇔eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n).教材整理2参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法.已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为() 【解析】由柯西不等式可求出(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)·\f(1,\r(x))＋\r(y)·\f(\r(a),\r(y))))eq\s\up12(2)＝(1＋eq\r(a))2，当x＝1，y＝eq\r(a)时，(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值是(eq\r(a)＋1)2，故只需(1＋eq\r(a))2≥9，即a≥4即可.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式证明不等式已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.【精彩点拨】如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论.若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证.【自主解答】∵a，b，x，y大于0，∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥(aeq\r(x1x2)＋beq\r(x1x2))2＝(a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以(a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等号当且仅当x1＝x2时成立.所以(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.1.利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形.2.变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.[再练一题]1.设x1，x2，…，xn为正数，求证：(x1＋x2＋…＋xn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))≥n2.【证明】由柯西不等式得(x1＋x2＋…＋xn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x1)·\f(1,\r(x1))＋\r(x2)·\f(1,\r(x2))＋…＋\r(xn)·\f(1,\r(xn))))eq\s\up12(2)＝n2，∴(x1＋x2＋…＋xn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)＋…＋\f(1,xn)))≥n2.利用柯西不等式求最值设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值.【精彩点拨】由x＋y＋z＝1以及u＝2x2＋3y2＋z2的形式，联想柯西不等式，构造因式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋1))解决问题.【自主解答】由x＋y＋z＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2)x＋eq\f(1,\r(3))·eq\r(3)y＋1·z.根据柯西不等式，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))·\r(2)x＋\f(1,\r(3))·\r(3)y＋1·z))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)＋12))·(2x2＋3y2＋z2)＝eq\f(11,6)(2x2＋3y2＋z2)，因此1＝(x＋y＋z)2≤eq\f(11,6)(2x2＋3y2＋z2)，∴u＝2x2＋3y2＋z2≥eq\f(6,11)，当且仅当eq\r(2)x＝eq\f(λ,\r(2))，eq\r(3)y＝eq\f(λ,\r(3))，z＝λ时等号成立.∴x＝eq\f(λ,2)，y＝eq\f(λ,3)，z＝λ代入x＋y＋z＝1，得x＝eq\f(3,11)，y＝eq\f(2,11)，z＝eq\f(6,11)时，等号成立.故函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是eq\f(6,11).1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果.2.常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值.[再练一题]2.若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝9，则x＋2y＋3z的最大值是________.【解析】由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝14×9，故x＋2y＋3z≤3eq\r(14)，所以x＋2y＋3z的最大值是3eq\r(14).【答案】3eq\r(14)运用柯西不等式求参数的取值范围已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤λ恒成立，求λ的取值范围.【精彩点拨】“恒成立”问题需求eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)的最大值，设法应用柯西不等式求最值.【自主解答】∵x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝xyz，∴eq\f(1,yz)＋eq\f(1,xz)＋eq\f(1,xy)＝1.又eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(xy))＋\f(1,\r(yz))＋\f(1,\r(zx))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·\f(1,\r(xy))＋1·\f(1,\r(yz))＋1·\f(1,\r(zx))))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋12＋12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xy)＋\f(1,yz)＋\f(1,zx)))))eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，当且仅当x＝y＝z时，即x＝y＝z＝eq\r(3)时等号成立，∴eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)的最大值为eq\f(\r(3),2).故eq\f(1,x＋y)＋eq\f(1,y＋z)＋eq\f(1,z＋x)≤λ恒成立时，应有λ≥eq\f(\r(3),2).因此λ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)).此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理.[再练一题]3.已知函数f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(5－x).若关于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，求实数m的取值范围.【解】由柯西不等式得(2eq\r(x)＋eq\r(5－x))2≤(22＋12)·|(eq\r(x))2＋(eq\r(5－x))2|＝25，所以f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(5－x)≤5.当且仅当eq\f(\r(x),2)＝eq\f(\r(5－x),1)，即x＝4时，等号成立.又不等式f(x)≤|m－2|恒成立，所以|m－2|≥5，解得m≥7或m≤－3.故m的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).[探究共研型]柯西不等式的应用探究1在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)吗？【提示】不可以.当b·d＝0时，柯西不等式成立，但eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)不成立.探究2在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).则二维柯西不等式的三角形式又是怎样体现的呢？【提示】根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC中，三角形式的柯西不等式为eq\r(x1－x32＋y1－y32)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x22＋y1－y22).探究3在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【提示】不可以.若bi＝0而ai≠0，则k不存在.探究4利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？【提示】柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n个实数平方和的乘积的形式.(2)配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证.(3)适当换元，有时根据所证不等式的结构特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使问题简捷获解.(4)配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联系，有时要通过巧配系数来完成.已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤eq\r(11).【精彩点拨】将不等式2x＋y≤eq\r(11)的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明.【自主解答】2x＋y＝eq\f(2,\r(3))·eq\r(3)x＋eq\f(1,\r(2))·eq\r(2)y.由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(eq\r(3)x)2＋(eq\r(2)y)2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2)))＝(3x2＋2y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋\f(1,2)))≤6×eq\f(11,6)＝11，于是2x＋y≤eq\r(11)，当且仅当eq\f(\r(3)x,\f(2,\r(3)))＝eq\f(\r(2)y,\f(1,\r(2)))，即eq\f(x,y)＝eq\f(4,3)时等号成立.[再练一题]4.已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为________.【解析】∵1＝x＋2y，∴1＝(x＋2y)2≤(1＋22)(x2＋y2).当且仅当x＝eq\f(1,5)，y＝eq\f(2,5)时，取等号，∴(x2＋y2)min＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)[构建·体系]1.设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为()\r(13) 【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2.已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是()\r(2)\r(3)【解析】2x＋y＝eq\r(2)·eq\r(2)x＋1×y≤eq\r(\r(2)2＋12[\r(2)x2＋y2])＝eq\r(32x2＋y2)＝eq\r(3)，当且仅当eq\r(2)y＝eq\r(2)x，即x＝y＝eq\f(\r(3),3)时等号成立.【答案】C3.若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()【导学号：38000032】A.[－2eq\r(5)，2eq\r(5)] B.[－2eq\r(10)，2eq\r(10)]C.[－eq\r(10)，eq\r(10)] D.[－eq\r(5)，eq\r(5)]【解析】∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∴|a－b|≤eq\r(20)＝2eq\r(5)，∴a－b∈[－2eq\r(5)，2eq\r(5)].【答案】A4.设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(9,b)＋\f(36,c)))的最小值为________.【解析】∵a，b，c为正数，∴(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(9,b)＋\f(36,c)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(a))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(b))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,\r(c))))\s\up12(2))