高中数学高考一轮复习一轮复习 第二节 变量间的相关关系统计案例

课时作业(六十三)变量间的相关关系、统计案例1．(多选)2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：价格x91011销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\o(a,\s\up6(^))，相关系数|r|＝，则下列说法正确的有()A．变量x，y线性负相关且相关性较强B．eq\o(a,\s\up6(^))＝40C．当x＝时，y的估计值为D．相应于点，6)的残差约为ABC[对A，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x，y线性负相关，且由相关系数|r|＝可知相关性强，故A正确．对B，价格平均eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(9＋＋10＋＋11)＝10，销售量eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(11＋10＋8＋6＋5)＝8.故回归直线恒过定点(10，8)，故8＝－×10＋eq\o(a,\s\up6(^))⇒eq\o(a,\s\up6(^))＝40，故B正确．对C，当x＝时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－×＋40＝，故C正确．对D，相应于点，6)的残差eq\o(e,\s\up6(^))＝6－(－×＋40)＝－，故D不正确．故选ABC.]2．(多选)因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：满意不满意男2020女4010附表：P(K2≥k)k附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)以下说法正确的有()A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为C．有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D．没有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系AC[因为男女比例为4000∶5000，故A正确．满意的频率为eq\f(20＋40,90)＝eq\f(2,3)≈，所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为，所以B错误．由列联表K2＝eq\f(90×（20×10－20×40）2,40×50×60×30)＝9＞，故有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系，所以C正确，D错误．故选AC.]3．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－.由以上信息，得到下表中c的值为________．天数x/天34567繁殖个数y/千个34c解析：eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f＋3＋4＋＋c,5)＝eq\f(14＋c,5)，代入回归直线方程中得：eq\f(14＋c,5)＝×5－，解得c＝6.答案：64．某校某次数学考试规定80分以上(含80分)为优分，在1000名考生中随机抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：优分非优分总计男生154560女生152540总计3070100为了研究数学成绩与性别是否有关，采用独立检验的方法进行数据处理，则正确的结论是________________．附表及公式P(K2≥k0)k0K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解析：K2＝eq\f(100×（15×25－15×45）2,60×40×30×70)≈，因为<，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．答案：没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”5．某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如表：超市ABCDEFG广告费支出xi1246111319销售额yi19324044525354(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；(2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋5x＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为和，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额．解析：(1)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i=1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7x2)＝eq\f(2794－7×8×42,708－7×82)＝.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x＝42－×8＝，故y关于x的线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)因为<，所以二次函数回归模型更合适．当x＝3时，eq\o(y,\s\up6(^))＝.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额为万元．6．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下表：超过1小时不超过1小时男208女12m(1)求m，n；(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：P(K2≥k)kK2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：(1)由已知，该校有女生400人，故eq\f(12＋m,20＋8)＝eq\f(400,560)，得m＝8，从而n＝20＋8＋12＋8＝48.(2)作出2×2列联表如下：超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828女12820合计321648K2＝eq\f(48×（160－96）2,28×20×32×16)＝eq\f(24,35)≈7<.所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．(3)根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率P＝eq\f(32,48)＝eq\f(2,3)，故估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4.7．(2023·全国卷Ⅲ)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次＞400空气质量好空气质量不好附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k)k解析：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为eq\f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次＞400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得K2＝eq\f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈.由于＞，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))563表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．(3)已知这种产品的利润z与x，y的关系为z＝－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解析：(1)由散点图可以判断，y＝c＋deq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程，由eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,8,)（wi－w）·（yi－y）,\i\su(i=1,8,)（wi－w）2)＝eq\f,＝68.得eq\o(c,\s\up6(^))＝y－eq\o(d,\s\up6(^))w＝563－68×＝.所以y关于w的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y关于x的回归方程为y∧＝＋68eq\r(x).(3