高中数学人教A版第三章直线与方程 学业分层测评16

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，eq\f(m－4,－2－m)＝－2，得m＝－8.【答案】A3．若点A(0,1)，B(eq\r(3)，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为()A．－30° B．30°C．150° D．120°【解析】kAB＝eq\f(4－1,\r(3)－0)＝eq\r(3)，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C.【答案】C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【解析】∵kAB＝eq\f(－1－1,2＋1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．【答案】C5．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵kPQ＝eq\f(－4－2,6＋4)＝－eq\f(3,5)，kSR＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kPS＝eq\f(12－2,2＋4)＝eq\f(5,3)，kQS＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4).又P、Q、S、R四点不共线，∴PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.故①②④正确．【答案】C二、填空题6．已知直线l1过点A(－2,3)，B(4，m)，直线l2过点M(1,0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是______.【导学号：09960101】【解析】由l1⊥l2，得kAB·kMN＝－1，所以eq\f(m－3,4－－2)·eq\f(m－4,0－1)＝－1，解得m＝1或6.【答案】1或67．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为________．【解析】设D点坐标为(x，y)，∵四边形ABCD为长方形，∴AB∥CD，AD∥BC，即eq\f(y－2,x－3)＝－1， ①eq\f(y－1,x)＝1， ②联立①②解方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以顶点D的坐标为(2,3)．【答案】(2,3)三、解答题8．(2023·泰安高一检测)已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a＋1,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)))，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，当a为何值时，直线AB和直线CD垂直？【解】kAB＝eq\f(－\f(1,3)＋\f(a＋1,3),0－1)＝－eq\f(a,3)，kCD＝eq\f(0－1,－a－2＋2a)＝eq\f(1,2－a)(a≠2)．由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))×eq\f(1,2－a)＝－1，解得a＝eq\f(3,2).当a＝2时，kAB＝－eq\f(2,3)，直线CD的斜率不存在．∴直线AB与CD不垂直．∴当a＝eq\f(3,2)时，直线AB与CD垂直．9．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；(2)试判断▱ABCD是否为菱形．【解】(1)设D(a，b)，由四边形为平行四边形，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，))所以D(－1,6)．(2)因为kAC＝eq\f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq\f(6－0,－1－5)＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，故▱ABCD为菱形．[自我挑战]10．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是()A．19\f(19,4)C．5 D．4【解析】由题意知AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f(4－0,3－2)×eq\f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝eq\f(19,4)，故选B.【答案】B11．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).【导学号：09960102】【解】设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，所以eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD.因为kAD＝eq\f(y－3,x)，kCD＝eq\f(y,x－3)，由于AD⊥AB，所以eq\f(y－3,x)·3＝－1.又AB∥CD，所以eq\f(y,x－3)＝3.解上述两式可得eq\b\lc