高二数学空间向量课件

第3章空间向量与立体几何一.空间向量的基本概念0

1

长度相等方向相反长度相等方向相同任意2.空间向量的加法、减法运算abABbCO三角形法则：首尾相连首尾相接平行四边形法则：起点相同连对角.(1)空间向量的加法⑵空间向量的减法三角形法则ABab.注意：

1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同2、由减向量的终点指向被减向量的终点。共起点O1、两个向量的夹角二、空间向量的数量积及其运算2、两个向量的数量积3、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：7任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。4、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量三、空间向量的坐标运算1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔________⇔__________(2)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔________⇔__________________________(λ∈R)．a·u＝0a1a2＋b1b2u＝λva1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2＋c1c2＝0(1)线面平行四、空间向量与立体几何（一）空间平行关系的向量表示（二）空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔_____⇔_______⇔_____________．(2)线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔______．(3)面面垂直设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔______⇔________⇔____________________．四、空间向量与立体几何方法小结求空间的角考点突破解(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．考点一求异面直线所成的角利用空间向量求解考点突破(2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，考点一求异面直线所成的角F则△AEF是等腰直角三角形，图1利用空间向量求解考点突破法二如图2，建立空间直角坐标系，考点一求异面直线所成的角图2xyz利用空间向量求解考点突破考点一求异面直线所成的角考点突破(1)证明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD．又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．(2)解过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD．【例2】(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．考点二利用空间向量求直线与平面所成的角E考点突破以B为坐标原点，【训练2】(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．考点二利用空间向量求直线与平面所成的角的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，xyzE考点突破【训练2】(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．考点二利用空间向量求直线与平面所成的角取z0＝1，得平面MBC的一个法向量为n＝(1，－1，1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ，设平面MBC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，xyzE考点突破规律方法

利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．考点二利用空间向量求直线与平面所成的角利用法向量求二面角的原理：设

分别为平面

的法向量，二面角

的大小为

，向量

的夹角为

，则有

（图1）或

（图2）。向量

的夹角为，二面角

的大小为

，和相等还是互补？“同进同出为补角，一进一出为夹角”考点突破考点三利用空间向量求二面角1详细答案思考题考点突破(1)证明

∵ED⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD．又∵四边形ABCD为正方形，因此AD⊥CD．∵ED∩CD＝D，∴AD⊥平面CDEF.由于CF⊂平面CDEF，∴AD⊥CF.又AF⊥CF，AF∩AD＝A．故CF⊥平面ADF.考点三利用空间向量求二面角【例3】(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．考点突破(2)解如图所示，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1.由于∠DPC＝30°，PD⊥CD，考点三利用空间向量求二面角【例3】(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．xyz由于CF⊥FD，FE∥CD，从而D，A，C，F，E五点的坐标分别为D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，考点突破设平面AEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，考点三利用空间向量求二面角【例3】(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．xyz由于CF⊥平面ADF，由图可见所求二面角θ的余弦值为考点突破规律方法

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．考点三利用空间向量求二面角（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）利用空间向量求距离空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)

，可将两点距离问题转化为求向量模长问题空间中的距离主要有:点点、点线、点面、线线、线面、面面一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。还可以用等积法求距离.