高中数学人教B版第一章立体几何初步 10

第4课时1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球——圆柱、圆锥、课时目标1.在初中学习的基础上，学会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台，探索和研究圆柱、圆锥、圆台之间的关系．2．认识圆柱、圆锥、圆台的截面图形，并学会运用这些图形解决一些简单的问题．识记强化1．圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．2．圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．将①②③中的展开图还原后得到的几何体分别是()A．圆柱、圆锥、棱柱B．圆柱、圆锥、棱锥C．圆台、圆柱、棱锥D．圆台、圆锥、棱柱答案：B解析：图①中的两个圆分别为圆柱的两个底面，长方形为圆柱的侧面；图②中的圆为圆锥的底面，半圆为圆锥的侧面；图③显然能还原成棱锥．2．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为()A．10B．12C．20D．15答案：B解析：圆锥的轴截面是等腰三角形，两腰为圆锥的母线，底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S＝eq\f(1,2)×2×3×eq\r(52－32)＝12，故选B.4．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的eq\f(7,8)时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于()\f(7,6)π\f(4,3)π\f(2,3)π\f(1,2)π答案：C解析：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的eq\f(1,8)，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×42×eq\r(16－\f(16,3))＝eq\f(16\r(2),3)，∴没有水的部分的体积是eq\f(2\r(2),3)，设其棱长为a，则eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(2\r(2),3)，∴a＝2，设小球的半径为r，则4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22r＝eq\f(2\r(2),3)，∴r＝eq\f(\r(6),6)，∴球的表面积S＝4π·eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)π.故选C.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则有2πr＝eq\f(1,2)·2πl.∴2r＝l，即△ABC为等边三角形，故顶角为60°.6．若边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点GA．10cmB．5eq\r(2)C．5eq\r(π2＋1)cm\f(5,2)eq\r(π2＋4)cm答案：D解析：圆柱的侧面展开图如图所示，展开后EF＝eq\f(1,2)·2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝eq\f(5,2)π.∴EG＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π))2)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．二、填空题(每个5分，共15分)7．用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．答案：eq\f(3,2)或eq\f(1,2)解析：当矩形的宽为轴时，3π＝2πr，r＝eq\f(3,2)；当矩形的长为轴时，π＝2πr，r＝eq\f(1,2).8．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上下底面半径的比为34，又其高为14eq\r(2)，则圆台的母线长是__________．答案：20解析：如图所示，由已知有eq\f(r,R)＝eq\f(3,4)＝eq\f(O1O,OO2)，因为OB⊥OC，所以△AOB，△DOC均为等腰直角三角形．又O1O2＝14eq\r(2)，所以O1O＝r＝6eq\r(2)，OO2＝R＝8eq\r(2)，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝l2，所以r2＋OOeq\o\al(2,1)＋R2＋OOeq\o\al(2,2)＝l2，代入数据得l＝20.9．一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面面积是S，则它的底面面积是________．答案：eq\f(π,4)S解析：设底面半径为r，则4r2＝S，故底面面积为πr2＝π·eq\f(S,4)＝eq\f(π,4)S.三、解答题10．(12分)一圆台的母线长为13，下底面与上底面直径的差为10，求圆台的高．解：如图，O1，O2分别为圆台上、下底面圆的圆心，连接O1O2作AB⊥O2C于B则有BC＝eq\f(10,2)＝5，AC＝13，所以圆台的高h＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12.11．(13分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？解：画出圆柱和圆锥的轴截面．如图，设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得eq\f(x,6)＝eq\f(2－r,2)，解得r＝2－eq\f(x,3).(1)圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,3)))·x＝－eq\f(2,3)x2＋4x，x∈(0,6)；(2)∵S＝－eq\f(2,3)x2＋4x＝－eq\f(2,3)(x2－6x)＝－eq\f(2,3)(x－3)2＋6∴当x＝3时，S有最大值6.能力提升12．(5分)如图，一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积．解：设圆锥的底面圆直径为AB，SO为高，SA为母线，如图，则∠ASO＝30°.在Rt△SAO中，AO＝SO·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，SA＝eq\f(SO,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).而S△ASB＝eq\f(1,2)SO·2AO＝SO·AO＝2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3)，所以圆锥母线长为eq\f(4\r(3),3)，它的轴截面面积为eq\f(4\r(3),3).13．(15分)如图所示圆柱OO′的底面半径为2cm，高为4cm，P点为母线B′B的中点，∠AOB＝eq\f(2π,3)，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最小路程解：将圆柱侧面沿母线A′A剪开展平得到如图所示的平面图．则知最