高中数学北师大版2第四章定积分

章末分层突破[自我校对]①面积、路程②做功③牛顿­莱布尼茨④面积⑤体积定积分的计算1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.2.利用定积分的几何意义求定积分.3.利用微积分基本定理求定积分.若F′(x)＝f(x)，eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)f（x）dx)＝F(b)－F(a).求下列定积分.(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx；(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx.【精彩点拨】(1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.【规范解答】(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积.其面积为eq\f(1,2)×π×22＝2π，所以eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx＝2π.(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)，\f(1,e)≤x≤1，,\f(ln3x,x)，1≤x≤e，))∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝eq\i\in(\f(1,e),1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)))dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(ln3x,x)dx.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln4x,4)))′＝eq\f(ln3x,x)，∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝－eq\f(ln4x,4)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,e)))＋eq\f(ln4x,4)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(e,1)＝－eq\f(ln41,4)＋eq\f(ln4\f(1,e),4)＋eq\f(ln4e,4)－eq\f(ln41,4)＝eq\f(1,2).[再练一题]1.计算下列定积分.(1)eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx；(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx.【解】(1)∵eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))dx＝[lnx－ln(x＋1)]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(2,1)))＝lneq\f(4,3).(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(2x,ln2)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up8(\f(π,2)),－\f(π,2)))＝2＋eq\f(1,ln2)(2eq\s\up8(\f(π,2))－2eq\s\up8(－\f(π,2))).定积分在几何中的应用1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)π[f（x）]2dx.)求由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成的平面图形的面积.【精彩点拨】eq\x(画出草图)→eq\x(求交点坐标)→eq\x(\a\al(确定被积函数,及积分上、下限))→eq\x(求定积分)【规范解答】画出草图，如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝5x，))得交点A(1，5)，B(4，20).故所求平面图形的面积S＝eq\i\in(0,1,)(x2＋4－5x)dx＋eq\i\in(1,4,)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋4x－\f(5,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,1))＝eq\f(1,3)＋4－eq\f(5,2)＋eq\f(5,2)×42－eq\f(1,3)×43－4×4－eq\f(5,2)＋eq\f(1,3)＋4＝eq\f(19,3).[再练一题]2.求曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积.【导学号：94210078】【解】由体积公式V＝eq\i\in(0,π,)πy2dx＝eq\i\in(0,π,)π(sinx)2dx数形结合思想的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.如图4­1所示，在区间[0，1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.图4­1【精彩点拨】确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.【规范解答】S1的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴，直线x＝t围成的面积.即S1＝t·t2－eq\i\in(0,t,)x2dx＝eq\f(2,3)t3；S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2，1－t，即S2＝eq\i\in(t,1,)x2dx－t2(1－t)＝eq\f(2,3)t3－t2＋eq\f(1,3).所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝eq\f(4,3)t3－t2＋eq\f(1,3)(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))＝0，得t＝0或t＝eq\f(1,2)，易知当t＝eq\f(1,2)时，S最小，所以最小值为Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4).[再练一题]3.(2023·潍坊高二检测)如图4­2，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.图4­2【解】抛物线y＝x－x2与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).抛物线y＝x－x2与直线y＝kx交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，所以eq\f(S,2)＝eq\i\in(0,1－k,)(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1－k,0))＝eq\f(1,6)(1－k)3，又知S＝eq\f(1,6)，所以(1－k)3＝eq\f(1,2)，于是k＝1－eq\r(3,\f(1,2))＝1－eq\f(\r(3,4),2).1.(2023·陕西高考)定积分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为()＋2 ＋1 －1【解析】eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.故选C.【答案】C2.(2023·江西高考)若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A.－1 B.－eq\f(1,3)\f(1,3) 【解析】∵f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2x∫eq\o\al(1,0)f（x）dx))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(1,3)＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(1,3).【答案】B3.(2023·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,)f（x）·g（x）dx＝0，)则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是() 【解析】①eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(1,－1)))＝－eq\f(4,3)≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx＝eq\f(x4,4)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,－1))＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.【答案】C4.(2023·湖南高考)eq\i\in(0,2,)(x－1)dx＝__________.【解析】eq\i\in(0,2,)(x－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\f(1,2)×22－2＝0.【答案】0章末综合测评(四)定积分(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)\i\in(1,4,)xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为()ABCD【解析】由定积分的几何意义易知选项B正确.【答案】B\i\in(0,2π,)sinxdx＝() C.－2 【解析】eq\i\in(0,2π,)sinxdx＝－cosxeq\a\vs4\al(|eq\o\al(2π,0))＝0.【答案】D\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝()\f(1,2) C.－eq\f(1,2) D.－2【解析】eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝eq\i\in(1,2,)(3x2)dx－eq\i\in(1,2,)(2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝7－eq\f(15,2)＝－eq\f(1,2).【答案】C4.若eq\i\in(0,a,)(2－3x)dx＝－2(a>0)，则a的值为() \f(2,3)或eq\f(2,3) 或－eq\f(2,3)【解析】∵a>0，∴eq\i\in(0,a,)(2－3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2)x2))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(a,0))＝2a－eq\f(3,2)a2，由题知2a－eq\f(3,2)a2＝－2，解得a＝2.【答案】A5.曲线y2＝6ax，x＝2a(a>0)绕x轴旋转所得旋转体的体积为()πa2 πa2πa3 πa3【解析】V＝eq\i\in(0,2a,)πy2dx＝eq\i\in(0,2a,)π6axdx＝3πax2eq\a\vs4\al(|eq\o\al(2a,0))＝12πa3.【答案】C6.设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈[1，e]，))则eq\i\in(0,e,)f(x)dx等于()【导学号：94210079】\f(4,3) \f(5,4)\f(6,5) \f(7,6)【解析】eq\i\in(0,e,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(e,1)))＝eq\f(4,3).【答案】A7.由y＝ex，x＝2，y＝e围成的曲边梯形的面积是()－2e －e 【解析】所求面积为S＝eq\i\in(1,2,)(ex－e)dx＝(ex－ex)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝e2－2e.【答案】A8.(2023·石家庄高二检测)若eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝3－ln2，且a>1，则a的值为() 【解析】eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝(x2－lnx)|eq\o\al(a,1)＝a2－lna－1，故有a2－lna－1＝3－ln2，解得a＝2.【答案】D9.若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()<S2<S3 <S1<S3<S3<S1 <S2<S1【解析】S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(1,3)×23－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝ln2，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝e2－e＝e(e－1)，ln2<lne＝1，且eq\f(7,3)<<e(e－1)，所以ln2<eq\f(7,3)<e(e－1)，即S2<S1<S3.【答案】B10.设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，))若f[f(1)]＝1，则实数a的值是() 【解析】因为x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋eq\i\in(0,a,)3t2dt＝x＋t3eq\a\vs4\al(|eq\o\al(a,0))＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.【答案】D11.定积分eq\i\in(0,1,)(eq\r(1－（x－1）2)－x)dx等于()\f(π－2,4) \f(π,2)－1\f(π－1,4) \f(π－1,2)【解析】eq\i\in(0,1,)(eq\r(1－（x－1）2)－x)dx＝eq\i\in(0,1,)eq\r(1－（x－1）2)dx－eq\i\in(0,1,)xdx.eq\i\in(0,1,)eq\r(1－（x－1）2)dx表示圆(x－1)2＋y2＝1的上半圆与x＝1，x＝0，y＝0围成的图形面积.画出图形(略)可知S1＝eq\i\in(0,1,)eq\r(1－（x－1）2)dx＝eq\f(π,4)，S2＝eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\f(1,2)，∴S＝S1－S2＝eq\f(π－2,4).【答案】A12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()＋25ln5 ＋25lneq\f(11,3)＋25ln5 ＋50ln2【解析】由v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，可得t＝eq\a\vs4\al(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(8,3)舍去)))，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为eq\i\in(0,4,)v(t)dt＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,4,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t))))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（t＋1）))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝4＋25ln5.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.若eq\i\in(0,1,)(2x＋k)dx＝2，则k＝________.【解析】∵eq\i\in(0,1,)(2x＋k)dx＝(x2＋kx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝1＋k＝2，∴k＝1.【答案】114.曲线y2＝4ax，x＝a(a>0)绕x轴旋转所得的旋转体体积是________.【导学号：94210080】【解析】由旋转体体积公式可得：V＝πeq\i\in(0,a,)y2dx＝πeq\i\in(0,a,)4axdx＝4πaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(a,0))＝2πa3.【答案】2πa315.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________.【解析】∵eq\i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝axeq\o\al(2,0)＋c，∴eq\f(a,3)＝axeq\o\al(2,0).∵a≠0，∴xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，又0≤x0≤1，∴x0＝eq\f(\r(3),3).【答案】eq\f(\r(3),3)16.曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形的面积是________.【解析】作出两曲线y＝x2与y＝xeq\f(1,2)围成的图形(如图阴影所示)，则图形的面积S＝eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up12(\f(1,2))－x2))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up12(\f(3,2))－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(2,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)由直线y＝kx(k>0)，直线y＝0，x＝1所围成的图形的面积为S1，由曲线y＝3－3x2，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积为S2，当S1＝S2时，求k的值及直线的方程.【解】依题意得S1＝eq\i\in(0,1,)kxdx＝eq\f(1,2)kx2eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(k,2)，S2＝eq\i\in(0,1,)(3－3x2)dx＝(3x－x3)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝2.∵S1＝S2，∴eq\f(k,2)＝2，解得k＝4，则直线的方程为y＝4x.18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线y＝eq\f(1,4)x2，x∈[0，3]，x＝0及y＝2eq\f(1,4)所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积.图1【解】根据题意和图形，所求体积V＝eq\i\in(0,\f(9,4),)π·(2eq\r(y))2dy＝4πeq\i\in(0,\f(9,4),)ydy＝4π×eq\f(1,2)y2eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up12(\f(9,4)),0))＝2π×eq\f(81,16)＝eq\f(81π,8).19.(本小题满分12分)计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积.【解】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x1＝0，x2＝3.因此所求图形的面积为S＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)dx－eq\i\in(0,3,)(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(0,3,)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,0))＝eq\f(9,2).20.(本小题满分12分)求由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2以及x轴所围成的平面图形的面积.【解】作出直线y＝x－2，曲线y＝eq\r(x)的草图，所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.可求得直线y＝x－2与曲线y＝eq\r(x)的交点为(4，2).直线y＝x－2与x轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S)，由两部分组成：一部分是直线x＝2左边的图形的面积(记为S1)；另一部分是直线x＝2右边的图形的面积(记为S2).则S＝S1＋S2＝eq\i\in(0,2,)eq\r(x)dx＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\i\in(2,4,)\r(x)dx－\i\in(2,4,)（x－2）dx))＝eq\f(2,3)xeq\s\up12(\f(3,2))eq\a\vs4\al(|eq\