高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系 单元测评(一)

单元测评(一)计数原理(A卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()A．70种 B．112种C．140种 D．168种解析：方法一(直接法)：分类完成：第1类，甲参加或乙参加，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,8)种挑选方法．所以不同的挑选方法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,8)＝140种．方法二(间接法)：从甲、乙等10人中挑选4人共有Ceq\o\al(4,10)种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有Ceq\o\al(4,8)种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,8)＝140种．答案：C2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙，丁两本不能连排，则不同的排法共有()A．12种 B．20种C．24种 D．48种解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再将丙，丁插入，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝2×3×2×2＝24种．答案：C3．在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－5 B．5C．－10 D．10解析：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(x2)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,5)·x10－2k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k·(－1)k＝Ceq\o\al(k,5)·x10－3k·(－1)k.由10－3k＝4知k＝2，即含x4的项的系数为Ceq\o\al(2,5)(－1)2＝10.答案：D4．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为()A．320 B．160C．96 D．60解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有Ceq\o\al(1,5)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝5×4×4×4＝320种不同的方法．答案：A5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是()A．40 B．74C．84 D．200解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(1,4)＝74种．答案：B6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是Aeq\o\al(2,3)＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×Aeq\o\al(2,3)＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.答案：B7．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．1 B．－1C．0 D．2解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋eq\r(3))4×(－2＋eq\r(3))4＝1.答案：A8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是()A．6Aeq\o\al(3,3) B．3Aeq\o\al(3,3)C．2Aeq\o\al(3,3) D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有Aeq\o\al(1,4)种选法，这两名女歌手有Aeq\o\al(2,2)种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有Aeq\o\al(4,4)种排法，根据分步乘法计数原理，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种出场方案．答案：D9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有()A．24种 B．36种C．60种 D．66种解析：先排甲、乙外的3人，有Aeq\o\al(3,3)种排法，再插入甲、乙两人，有Aeq\o\al(2,4)种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占eq\f(1,2)，故所求不同的站法有eq\f(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝36(种)．答案：B10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有Ceq\o\al(1,3)种方法，将其余两个偶数全排列，有Aeq\o\al(2,2)种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有Aeq\o\al(3,3)种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)种方法，故满足题意的偶数个数有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3))＝108个．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有Ceq\o\al(2,3)种选法，再将3人安排到三个科目，有Aeq\o\al(3,3)种不同排法，因此共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种不同方案．答案：18\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．解析：(化简三项为二项)：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq\f(1,32x5)·[(x＋eq\r(2))2]5＝eq\f(1,32x5)·(x＋eq\r(2))10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋eq\r(2))10的展开式中含x5项的系数，即Ceq\o\al(5,10)·(eq\r(2))5.所以所求的常数项为eq\f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq\f(63\r(2),2).答案：eq\f(63\r(2),2)13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＝1260种．答案：126014．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种．解析：先从6对夫妻中任选出一对，有Ceq\o\al(1,6)种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有Ceq\o\al(2,10)种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有Ceq\o\al(1,5)种，所以共有Ceq\o\al(1,6)(Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(1,5))＝240种不同选法．答案：240三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n；(2)求展开式中含x项的系数；(3)求展开式中所有含x的有理项．解：(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.(2分)(2)二项展开式的通项为：Ceq\o\al(r,4)(5x)4－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,4)54－r(－1)rx4－eq\f(3,2)r，令4－eq\f(3,2)r＝1⇒r＝2所以含x项的系数：Ceq\o\al(2,4)52(－1)2＝150.(7分)(3)由(2)得：4－eq\f(3,2)r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4.所以展开式中所有含x的有理项为：第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.(12分)16．(12分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；(5分)第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．(10分)根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．(12分)17．(12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？解：(1)可以组成无重复数字的三位数Aeq\o\al(1,9)Aeq\o\al(2,9)＝648(个)；(2分)(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＋Aeq\o\al(1,8)＋Aeq\o\al(1,4)＝156(个)；(4分)(3)可以组成无重复数字的四位偶数Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,8)Aeq\o\al(2,8)＝2296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)．(6分)(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝1140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)(9分)(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(4,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－Ceq\o\al(0,10)－Ceq\o\al(1,10)＝1013(个)．(12分)18．(14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有Ceq\o