机械工程测试技术基础 第一章

学习本课程应达到的目的1、掌握信号的时域和频域的描述方法，建立明确的信号频谱结构的概念；掌握频谱分析或相关分析的基本原理和方法。2、掌握测试装置的基本特性和不失真测试条件，并能正确地运用于测试装置的分析和选择。掌握一阶、二阶线性系统动态特性及其测定方法。3、了解常用传感器、常用信号调理电路和记录仪器的工作原理和性能，并能较合理地选用。4、对动态测试工作的基本问题有一个比较完整的概念，并能初步运用于机械工程中某些参量的测试。2/5/20231第一节

信号的分类与描述第二节周期信号与离散频谱第三节瞬变非周期信号与连续频谱第四节随机信号第一章信号及其描述回主目录2/5/20232第一节、信号的分类与描述一、信号的分类二、信号的描述2/5/20233第一节、信号的分类与描述2/5/20234周期信号

是按一定时间间隔周而复始出现，无始无终的信号。

式中T

0—周期

弹簧振子

非周期信号

是确定性信号中不具有周期重复性的信号。

弹簧振子

随机信号

是不能准确预测其未来瞬时值，无法用数学关系式描述的信号。

第一节、信号的分类与描述一、信号的分类（1）目录2/5/20235转换第一节、信号的分类与描述（2）目录连续信号

是其数学表示式中的独立变量取值是连续的信号。若独立变量和幅值取连续的称为模拟信号。离散信号

是其数学表示式中的独立变量取值是离散的信号。2/5/20236能量有限信号（能量信号）当满足时，则认为信号的能量是有限的。例如有限时间段内的矩形脉冲信号、衰减指数函数等。

弹簧振子

功率有限信号（功率信号）信号在区间的能量是无限的，但在有限区间的平均功率是有限的，即第一节、信号的分类与描述（3）目录弹簧振子2/5/20237周期信号功率信号非周期信号能量信号目录2/5/20238时域描述以时间t为独立变量的，直接观测或记录到的信号。信号时域描述直观地出信号瞬时值随时间变化的情况。频域描述信号以频率f为独立变量，称为信号的频域描述。反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。第一节、信号的分类与描述二、信号的描述实际，两种描述方法可以相互转换，包含同样的信息目录2/5/20239周期方波的时域、频域描述由上图可以看到，时域周期方波经过一定的方法进行变换之后，可以得到其频域描述——幅频谱图和相频谱图。2/5/202310一、傅立叶级数的三角函数展开式二、傅立叶级数的复指数函数展开式三、周期信号的强度表述第二节、周期信号与离散频谱2/5/202311第二节、周期信号与离散频谱周期信号分解的条件：狄里赫利条件：

一周期信号若能分解为谐波分量，代表这一周期信号的函数f(t)应当满足下列条件：在一周期内，函数是绝对可积的，即应为有限值；在一周期内，函数的极值数目为有限；在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限个第一类的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的函数值。2/5/202312一、傅立叶级数的三角函数展开式在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。含义例题进入复指数第二节、周期信号与离散频谱2/5/202313常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值周期圆频率，返回三角展开式2/5/202314求右图周期性三角波的傅立叶级数解：在x(t)的一个周期中可表示为常值分量返回小结Ⅰ2/5/202315返回余弦分量的幅值正弦分量的幅值2/5/202316返回说明结果：返回周期频谱特点2/5/202317对于例1-1的小结

周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常值分量、基波、和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值以1/n2的规律收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位为均为零。返回2/5/202318第二节、周期信号与离散频谱傅立叶级数的物理意义对任一以T为周期的波信号f(t)都可分解为一系列的简谐波Xn(t)＝Ancos(nω0t+φn)之和。其中n＝1时的谐波称为基波，其角频率ω0称为基频。一般，n次谐波的角频率是基频的n倍，振幅An反映了角频率为nω0的n次谐波在f(t)中所占的比重;而φn表示n次谐波沿时间轴移动的大小，称为相位。在工程技术上，一般把振幅An称为周期函数f(t)的频谱，振幅An与角频率nω0的关系图称为频谱图。频谱图完全刻画了波信号f(t)的频率特性，在工程技术中有广泛应用。若把振幅An与角频率nω0的关系记为An

＝F(nω0)，由于n＝1,2……所以频谱图是不连续的，称为离散频谱。也就是说，对周期函数有离散频谱。另外把Cn的辐角主值φn

＝argCn称为离散相位频谱。2/5/202319二、傅立叶级数的复指数函数展开式一般情况下cn

是复数定义分析

与

共轭，即推导目录依据欧拉公式：第二节、周期信号与离散频谱例题2/5/202320傅立叶级数复指数函数形式根据欧拉公式：有

傅立叶级数的三角函数展开式式可改写成为

2/5/202321令则或返回2/5/202322一些分析

周期函数展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以幅值或相位与频率的关系作幅频谱图或相频谱图，也可分别以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。总结：

复指数函数形式的频谱为双边谱，三角函数形式的频谱为单边谱；两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系：；而双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。负频率的说明第二节、周期信号与离散频谱返回2/5/202323把周期函数X（t）展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图；也可以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图例题1-2画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。解：根据式子故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称正余弦频谱图小结2/5/202324正弦、余弦函数实、虚部频谱图时域函数图形正、余弦函数的傅氏变换2/5/202325周期信号频谱的三大特点1）离散性周期信号的频谱是离散的。2）谐波性每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数。3）收敛性各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值(或相位角)。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而降低的。因此，在频谱分析中没必要考虑较高阶次谐波成分。（参见No.15）举工程实例说明傅氏变换应用返回2/5/202326三、周期信号的强度表述

周期信号（参见No.24）的强度表述方式有四种：

1）峰值峰值是信号可能出现的最大瞬时值，即

峰-峰值是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差(测试系统)2）绝对均值（全波整流后的均值）

3）有效值（均方根值）

4）平均功率(有效值的平方)2/5/202327第三节、瞬变非周期信号与连续频谱

周期信号、非周期信号及其频谱的有关说明周期信号均可以展开成多项简谐信号之和，各分量频率之间存在公约数，即基频，其信号分量即成为基波。因此其频谱是离散的（参见周期性三角波的频谱图）。反过来，简谐信号的叠加不一定就是周期信号，也就是说具有离散频谱的信号不一定是周期信号。

1、各简谐信号频率比是有理数，则为周期信号

2、各简谐信号频率比不是有理数，虽不是周期信号，但有离散频谱如：称为准周期信号

3、各简谐信号频率比不是有理数，也没有离散频谱（具有连续频谱），则为非周期信号。我们所说的非周期信号通常指瞬变非周期信号。2/5/202328非周期信号常见示例指数衰减信号矩形脉冲信号衰减振荡信号单一脉冲信号第三节、瞬变非周期信号与连续频谱目录2/5/202329一、傅立叶变换对于非周期信号的理解

周期信号频谱谱线的频率间隔，当周期T0

趋于无穷时，其频率间隔ω

趋于无穷小，谱线无限靠近。频率变量连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的。公式分析例题第三节、瞬变非周期信号与连续频谱目录△2/5/202330设有一个周期信号x(t)在区间以傅立叶级数表示为式中

将上边右式代入左式则得：目录2/5/202331

当T0

趋于无穷时，频率间隔成为，离散谱中相邻的谱线紧靠在一起，成为连续变量，求和符号就变为积分符号，则

这就是傅立叶积分我们由此也可以看到由具有离散频谱的周期信号的傅立叶级数在周期T0趋向于无穷大时，而转变成傅立叶积分。目录2/5/202332其中上边的公式称为x(t)的傅立叶变换，而下式称为X(ω)

的傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为

由ω=2πf

，则傅氏变换及其逆变换变为目录2/5/202333关系是

一般X(f)

是实变量f

的复函数，可以写成式中为信号的连续幅值谱,为信号的连续相位谱。公式简化后有返回目录2/5/202334例题1-3求矩形窗函数的频谱常称为矩形窗函数，其频谱为目录Ⅰ2/5/202335由做简单变换以代替，代入上边的W（f）则可以得到：式中T称为窗宽，在工程应用中常用作激励信号第三节、瞬变非周期信号与连续频谱频谱sincθ目录Ⅱ2/5/202336矩形窗函数及其频谱返回典型信号介绍2/5/202337傅立叶变换的主要性质熟悉傅立叶变换的性质的重要意义傅立叶变换将一个信号的时域描述转换为频域描述，同时根据傅立叶变换对，又可以得到时域描述，因此两种描述相互包含同样的信息量，存在一一对应关系。因此我们了解了傅立叶变换的一些主要性质，对于简化我们的分析计算工作有重要意义。简化作用！！！目录2/5/202338（一）、奇偶虚实性一般X（f）是实变量的复变函数.余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。若X（t）为实偶函数或者为实奇函数，则X（f）将会怎样？了解其性质，减少不必要的计算！目录2/5/202339（二）、对称性若则证明以-t代替t得将t与f互换，即得X（t）的傅立叶变换为所以目录2/5/202340（三）、时间尺度改变特性窗函数特性举例若则证明目录2/5/2023412/5/202342（四）、时移与频移特性若则，时域频域目录工程中常需要将低频信号搬到高频段发射出去，则可使用这种方法。2/5/202343（五）、卷积特性若则目录定义：两个函数与的卷积：记为：频域卷积特性又称为调制特性2/5/202344（六）、微分和积分特性若可得常见信号频谱目录2/5/202345几种典型信号的频谱分析第三节、瞬变非周期信号与连续频谱矩形窗函数的频谱函数及其频谱正、余弦函数的频谱密度函数周期单位脉冲序列的频谱目录δ2/5/202346一、矩形窗函数及其频谱公式：频谱：目录频谱2/5/202347一、定义二、

函数及其频谱

在ε时间内激发一个矩形脉冲，其面积为1。当ε趋于0时，的极限就称为δ函数，记做δ(t)。δ函数称为单位脉冲函数。δ(t)的特点有：从面积的角度来看（也称为δ函数的强度）二、δ函数的采样性质频谱δδ函数应用2/5/202348三、函数与其他函数的卷积特性由此可见：x(t)函数和δ函数的卷积的结果，就是在发生δ函数的坐标位置上简单地将x(t)重新构图。目录δδ函数与函数x(t)的卷积若δ函数有个时移，变为δ(t±t0)时，其卷积为：2/5/202349返回四、δ函数的频谱所有频段上等强度——“均匀谱”2/5/202350δ函数的相关傅立叶变换对δ(t)—单位瞬时脉冲1－均匀频谱密度函数1－均匀频谱密度函数δ(f)—在f＝0处有脉冲谱线δ(t－t0)—δ函数时移t0e-j2πft0各频率成分分别相移2πft0角ej2πf0t

—复指数函数δ(f－f0)—将δ(f)频移到f02/5/202351三、正、余弦函数的频谱密度函数一、定义正余弦函数的傅立叶变换如下：目录频谱2/5/202352一、定义等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用其傅立叶级数的复指数形式四、周期单位脉冲序列的频谱频谱目录2/5/202353梳状函数的频谱也是梳状函数。可见时域里的周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若时域周期为T