sp-3拉普拉斯变换

第三章拉普拉斯变换由FTLT用ej

ωt的复指数信号的线性组合来表示连续时间信号，这是傅立叶分析和变换的基础。

复指数函数的指数为jωt，它只能随时间在虚轴上变化，将其变化的范围扩展到整个复数平面，即ej

ωt变成est，其中s=σ+jω，连续信号就可以看成无穷多项est的叠加。傅里叶变换看成是拉普拉斯变换的特例，LT是FT的推广。LT的变换域是复频率域。LT适用范围连续、线性、时不变系统的分析为什么引入LT？FT存在的充要条件是：在无限区间内，信号满足绝对可积。而有些信号，t->无穷大时，信号不衰减，因而积分不收敛。(即使FT存在也不能用FT的定义式求)有些函数FT存在，但得借助于冲激函数表达，有时不方便。实际碰到的信号总是因果信号引入衰减因子与f(t)相乘令则上式被称为

拉普拉斯变换

式拉普拉斯变换LT定义拉普拉斯反变换ILT定义拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法，常称为s域分析。原函数若考虑零点处的冲激，则象函数复数拉普拉斯变换拉普拉斯变换衰减因子引入的意义（作用）从数学观点看这是将函数f(t)乘以因子以使之能满足绝对可积的条件从物理意义看这是将频率由w变换为复频率s，w只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。（因为复数s可以同时提供两种信息）拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换LT与ILT定义与傅里叶变换的关系与单边LT的关系因果信号的单边LT与双边LT是一样的。单边拉氏变换对于分析具有初始条件的线性常系数微分方程描述的因果系统具有重要意义。LT相对于FT引入了衰减因子，把增长信号的这种增长“压下去”LT的收敛域压不下去的原因有两种：一是以现在这种形式的衰减因子，根本不可能使乘积信号衰减下来，如一些比指数函数增幅更快的函数；二是衰减因子选择不适当-----如果衰减因子选得适当，拉氏变换还是存在的，这就涉及到下面我们要讲的LT的收敛域问题了。

问题：如果压不下去怎么办？ROC：使f(t)的LT存在的s的取值范围为LT的收敛域，简记为ROC。例3.1试求信号的双边拉氏变换。LT的收敛域上述积分只有当

，即

时才收敛，于是

如果a为正，那么F(s)就能在

=0处求值，即

上式表示

=0时的拉氏变换，等于傅里叶变换；如果a为负，拉氏变换仍存在，但傅里叶变换不存在,例3.2试求信号的双边拉氏变换。LT的收敛域解：根据双边拉氏变换的定义，可求得信号的双边拉氏变换为上述积分只有当

，即

时才收敛，于是

,例3.1与例3.2中的两个信号是不同的，但它们的拉氏变换结果却是一样的!不过，两个信号的拉氏变换能成立的条件(即LT的ROC)却不同。LT的收敛域定义拉氏变换收敛域的必要性。从定义出发，变换结果只在特定的域(ROC)内才能成立；从区分不同信号的相同变换结果出发，变换结果不能孤立存在，需要标明其存在的ROC才有意义。特别地，对于单边拉氏变换，由于其只能适用于因果信号，故其以收敛域位于收敛轴的右边，其形式比较简单。例3.1和3.2的ROCLT的收敛域常见函数的LT(1)阶跃函数上式积分在Re[s]>0时收敛，故同理，可求出-u(-t)的双边拉氏变换为：可见，u(t)与-u(-t)具有相同的双边拉氏式，但ROC不相同。常见函数的LT(2)指数函数,Re[s]>-a,其中a可正可负(3)

(n是正整数)

(4)冲激函数

ROC为整个s平面P92表3-1，注意必须注明ROC常见函数的LTs平面s平面LT的性质线性复频域平移线性推广时域平移单边LT双边LT尺度变换单边LT双边LT当时域反褶时，LB[f(-t)]=F(-s)

LT的性质LT的性质共轭特性若f(t)是实函数，则时域微分单边LT双边LT时域积分单边LT双边LT复频域微分LT的性质其中

是f(t)积分式在t=0的取值。

频域积分LT的性质卷积定理

同理还可得到频域卷积定理（也称时域相乘定理）

初值和终值定理使用条件：信号是因果信号，且在时域不包含冲激或高阶奇异函数。计算方法：注意事项：如果通过该定理求出的初值和终值与实际不符，则计算结果肯定有误。但即使初值与终值这两点与实际符合了，也不能保证所求的LT是正确的。LT的性质补充例题

1.求sinωt的拉氏变换？能使用终值定理吗？LT的性质用留数定理求逆变换用部分分式法求逆变换有理分式分解借助于常见函数的拉氏变换求解步骤：

1）对分母D(s)因式分解

2）根据根的情况拆分

3）分别对每项求逆变换LT的逆变换1.所有极点为单阶实数极点LT的逆变换求f(t)解：将F(s)分解为：Eg3.6已知对应的逆变换f(t)为：如果已知中ROC为？求f(t)解：将F(s)分解为：对应的逆变换f(t)为：如果已知中ROC为1.所有极点为单阶实数极点LT的逆变换Eg3.7已知求f(t)解：长除法将F(s)变换为：对应的逆变换f(t)为：分解F(s)：LT的逆变换2.极点中有多重实根Eg3.8已知求f(t)解：将F(s)写成展开式：待定系数K2可以用下式求分别求得K11~K13LT的逆变换2.极点中有多重实根于是得逆变换3.极点中含有共轭复根LT的逆变换Eg3.9已知求f(t)解：将F(s)写成展开式：待定系数法可求得系数3.极点中含有共轭复根LT的逆变换Eg3.9已知求f(t)解：将F(s)写成：所以原函数为：(1)

F(s)为有理分式：利用部分分式分解和查表的方法求逆变换，无需引用留数定理。(2)

F(s)为有理分式与

相乘：可借助拉氏变换的时域平移性质，用部分分式法求解逆变换。(3)

F(s)为无理函数：需利用留数定理逆变换。但是这种情况在实际系统中很少碰到