高中数学苏教版2第一章导数及其应用

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝eq\f(1,x)在2,6]上的平均变化率为________．【解析】eq\f(f6－f2,6－2)＝eq\f(\f(1,6)－\f(1,2),6－2)＝－eq\f(1,12).【答案】－eq\f(1,12)2．函数f(x)＝log2x在区间2,4]上的平均变化率是________．【解析】函数的平均变化率是eq\f(f4－f2,4－2)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：m)，则在1s到3s这段时间内，该质点的平均速度为________m/s.【解析】eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(5×32－5×12,2)＝20(m/s)．【答案】204．在雨季潮汛期间，某水位观测员观察千岛湖水位的变化，在24h内发现水位从102.7m上涨到105.1m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】eq\f－,24)＝(m/h)．【答案】5．已知函数f(x)＝ax＋b在区间1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.【解析】对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等．与一次函数对应直线的斜率相等．故a＝3.【答案】36．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋eq\f(1,3)t3，则该物体在时间间隔eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内的平均加速度为________．【解析】平均加速度eq\f(\f(3,2)＋\f(1,3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3))),\f(3,2)－1)＝eq\f(31,12).【答案】eq\f(31,12)7．设某产品的总成本函数为C(x)＝1100＋eq\f(x2,1200)，其中x为产量数，生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为________．【解析】C(1000)－C(900)＝eq\f(10002－9002,1200)则eq\f(C1000－C900,1000－900)＝eq\f(1000＋900×100,1200×100)＝eq\f(19,12).【答案】eq\f(19,12)8．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1­1­2所示．在时间段t0，t1]，t1，t2]，t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小关系是________．图1­1­2【解析】∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由图象可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.【答案】eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1二、解答题9．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】依题意，生产并售出x台所获得的利润是L(x)＝r(x)－c(x)＝3x2－3x(元)，∴x取值从10台至20台的平均利润为eq\f(L20－L10,20－10)＝eq\f(3×202－3×20－3×102－3×10,10)＝87(元)，故所求平均利润为87元．10．2023年冬至2023年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1­1­3所示，据图回答：图1­1­3(1)2023年11月至2023年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2023年11月到2023年2月，与从2023年1月到2023年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【解】(1)在2023年11月至2023年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2023年1月至2023年2月间，平均变化率eq\f(Δs,Δt)较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2023年11月至2023年2月间，平均变化率为eq\f(sB－sA,3)，在2023年1月至2023年2月间，平均变化率为eq\f(sB－sC,1)＝sB－sC，显然kBC>kAB，即sB－sC>eq\f(sB－sA,3)，∴在2023年1月至2023年2月间，小麦受旱面积增幅较大．能力提升]1．如图1­1­4是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间0,2]上的平均变化率为________.【导学号：01580002】图1­1­4【解析】由函数f(x)的图象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，x＋1，1<x≤3.))所以，函数f(x)在区间0,2]上的平均变化率为eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)2．已知曲线y＝eq\f(1,x)－1上两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________．【解析】∵Δx＝1,2＋Δx＝3，∴f(2＋Δx)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6).kAB＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝－eq\f(1,6).【答案】－eq\f(1,6)3．函数y＝x3＋2在区间1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.【解析】eq\f(a3＋2－13＋2,a－1)＝eq\f(a3－1,a－1)＝a2＋a＋1＝21.解之得a＝4或a＝－5.又∵a>1，∴a＝4.【答案】44．(2023·泰安检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？图