高中数学人教A版2第一章导数及其应用 课时跟踪检测导数的几何意义

课时跟踪检测（二）导数的几何意义层级一学业水平达标1．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在解析：选Cf′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f(x)＝－eq\f(2,x)在点M(1，－2)处的切线方程为()A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4解析：选Ceq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－2,1＋Δx)＋2,Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.3．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为()A．1 \f(π,4)\f(5π,4) D．－eq\f(π,4)解析：选B∵y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为eq\f(π,4)，故应选B.4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 \f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：选A∵y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a5．过正弦曲线y＝sinx上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))的切线与y＝sinx的图象的交点个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．无数个解析：选D由题意，y＝f(x)＝sinx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(cosΔx－1,Δx).当Δx→0时，cosΔx→1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有无数个交点．6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f′(1)＝eq\f(1,2)，由点M在切线上得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：37．已知曲线f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝eq\f(1,x)过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x),y＝\f(1,x)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(△x→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝08．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0Δx－3Δx＋Δx2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，则y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,4)－2,\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为eq\f(7\r(2),8).10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x\o\al(3,0)－2x\o\al(2,0)＋3,Δx)＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3xeq\o\al(2,0)－4x0.∴当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→3xeq\o\al(2,0)－4x0，即f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－4x0，由导数的几何意义，得3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2.∴切点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)，当切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，有eq\f(49,27)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a，∴a＝eq\f(121,27)，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，当a＝eq\f(121,27)时，切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))；a＝－5时，切点为(2,3)．层级二应试能力达标1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：选B由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，选B.2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于()A．0 B．2C．4 D．6解析：选DΔy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.3．设f(x)存在导函数，且满足eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1C．1 D．－2解析：选Beq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(x)＝－1.4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则eq\f(a,b)为()\f(1,3) \f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)解析：选D由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝______.解析：由导数的概念和几何意义知，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq\f(0－4,2－0)＝－2.答案：－26．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．解析：由导数的定义，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(a·Δx＋b)＝b.又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))所以ac≥eq\f(b2,4)，所以c>0.所以eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.答案：27．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解：∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2∵g′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))8．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋1－x2－1,Δx)＝2x＋Δx，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\