高中数学人教A版第二章数列 同课异构

第二章第2课时基础巩固一、选择题1．(2023·全国Ⅱ理，4)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝eq\x(导学号54742432)(B)A．21 B．42C．63 D．84[解析]设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故选B．2．(2023·东北三省四市联考)等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lgan}的前10项和等于eq\x(导学号54742433)(D)A．2 B．lg50C．10 D．5[解析]由等比数列性质知a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，故lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1a2…a3．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于eq\x(导学号54742434)(B)A．210 B．220C．216 D．215[解析]设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5C＝a3a6a9…a30，则A、B公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.4．设等比数列的前三项依次为eq\r(3)，eq\r(3,3)，eq\r(6,3)，则它的第四项是eq\x(导学号54742435)(A)A．1 B．eq\r(8,3)C．eq\r(9,3) D．eq\r(12,15)[解析]a4＝a3q＝a3·eq\f(a2,a1)＝eq\r(6,3)×eq\f(\r(3,3),\r(3))＝eq\f(3\f(1,6)×3\f(1,3),3\f(1,2))＝1.5．(2023·华南师范大学附属中学)在等比数列{an}中，a3a11＝4a7.若数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于eq\x(导学号54742436)(C)A．2 B．4C．8 D．16[解析]在等比数列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4.在等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有eq\x(导学号54742437)(B)A．13项 B．12项C．11项 D．10项[解析]设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aeq\o\al(3,1)q3＝2，后三项之积aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4.两式相乘得，aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2)＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.二、填空题7．设{an}为等比数列，an>0，q＝2，a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3a6a9·…·a30＝\x(导学号54742438)[解析]由等比数列的性质知a1a2·…·a30＝(a2·a5·…·a28)＝(eq\f(a3·a6·a9·…·a30,210))3＝230.故a3a6a9·…·a308．(2023·浙江理，13)设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝1，S5＝\x(导学号54742439)[解析]由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4,a2＝2a1＋1))，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3(Sn＋eq\f(1,2))，所以{Sn＋eq\f(1,2)}是以eq\f(3,2)为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1,2)，所以S5＝121.三、解答题9．(2023·全国卷Ⅲ文，17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝\x(导学号54742440)(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解析](1)由题意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，因此an＝eq\f(1,2n－1).10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和\x(导学号54742441)[解析]设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝aeq\o\al(2,6)，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0，或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，因此，S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20×7＋190＝330.能力提升一、选择题11．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，ceq\x(导学号54742442)(A)A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列[解析]解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴12．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于eq\x(导学号54742443)(C)A．32 B．34C．66 D．64[解析]依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C．13．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则eq\f(m,n)的值是eq\x(导学号54742444)(D)A．4 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、eq\f(m,n)＝eq\f(1,4)；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．二、填空题14．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是3或\x(导学号54742445)[解析]设此三数为3、a、b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b,a－62＝3b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15,b＝27)).∴这个未知数为3或27.15．(2023·浙江文，10)已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝eq\f(2,3)，d＝－\x(导学号54742446)[解析]由题可得，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因为2a1＋a2＝1，即3a1＋d＝1，所以d＝－1，a1＝eq\f(2,3).三、解答题16．(2023·郑州市质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－\x(导学号54742447)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k[解析](1)由Sn＝2an－2可得a1＝2，因为Sn＝2an－2，所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1,即：eq\f(an,an－1)＝2.数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，所以，an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立，等价于eq\f(n－8n＋1,2)≥k对n∈N*恒成立；设cn＝eq\f(1,2)(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值为－10，所以k≤－10.17．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数.eq\x(导学号54742448)(1)求a1及an；(2