高中数学人教A版2本册总复习总复习（区一等奖）2

1．1变化率与导数1．变化率问题1．导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．2．平均变化率的几何意义设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)为割线AB的______，如图1­1­1所示．图1­1­1【答案】\f(fx2－fx1,x2－x1)2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.()(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．()(3)对山坡的上、下两点A，B中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)可以近似刻画山坡的陡峭程度．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2瞬时速度、导数的概念阅读教材P4～P6“例1”以上部分，完成下列问题．1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋向于0时，eq\f(Δs,Δt)的________是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作_____________________，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))_________________.【答案】1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是__________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－12,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))(2＋Δx)＝2.【答案】2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝时，Δy的值为()【导学号：60030000】A． B．C． D．(2)已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋－f(2)可得．(2)eq\x(求Δx＝x2－x1)→eq\x(求Δy＝fx2－fx1)→eq\x(计算\f(Δy,Δx))【自主解答】(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f－f(2)＝－22＝.【答案】B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－1＋1,1)＝eq\f(1,2)；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f5－f3,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因为eq\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．[再练一题]1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故选C.【答案】C求瞬时速度(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－eq\f(1,2)gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．【精彩点拨】先求出eq\f(Δs,Δt)，再求eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).【自主解答】(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt\o\al(2,0)))＝v0Δt－gt0Δt－eq\f(1,2)gΔt2，∴eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0－eq\f(1,2)gΔt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2Δt3＋6Δt2＋6Δt,Δt)＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体；瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求eq\f(Δy,Δx)(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：60030001】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(sΔt－s0,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3m/s.(2)v瞬＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(－Δt2－Δt,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度相反．(3)eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s0,2－0)＝eq\f(6－4－0,2)＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－31＋Δt2－8－3×12,Δt)＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx－Δx2,Δx)＝3－Δx，∴f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.[构建·体系]1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)的值为()A．4 B．4xC．4＋2Δx2 D．4＋2Δx【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.【答案】D2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/s B．6m/sC．5m/s D．8m/s【解析】∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32,Δt)＝5＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】C3．质点运动规律s＝eq\f(1,2)gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10m/s2)【解析】Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，则常数a＝________.【导学号：60030002】【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)eq\f(Δy,Δx)；(2)f′(1)．【解】(1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋3－12＋3,Δx)＝2＋Δx.(2)f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2＋Δx)＝2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A．3 B．2C．1 D．4【解析】由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.【答案】B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()【导学号：60030003】A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.【答案】D3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.【答案】C4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】C5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝1，则f′(x0)等于()A．1 B．－1C．－eq\f(1,3) \f(1,3)【解析】∵eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[eq\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－eq\f(1,3).【答案】C二、填空题6．(2023·太原高二检测)若f′(x0)＝1，则eq\o(lim,\s\do6(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝__________.【解析】eq\o(lim,\s\do6(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,－k)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1­1­2所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小关系是________．图1­1­2【解析】∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由图象可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.【答案】eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)18．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．【解析】物体的速度为v＝s′(t)，∴s′(t)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(2Δt－6tΔt－3Δt2,Δt)＝2－6t.即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.【答案】2三、解答题9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4s附近的平均速度．【解】eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s4＋Δt－s4,Δt)＝eq\f(34＋Δt2＋4＋Δt＋4－3×42＋4＋4,Δt)＝(25＋3Δt)m/s，即该物体在4s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.10．(2023·聊城高二检测)求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．【解】因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝(2x＋a)＋Δx，eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.[能力提升]1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1 B．－1C．±1 D．3eq\r(3)【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0)，由f′(x0)＝3，得3xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.【答案】C2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(fx＋1－f1,2x)＝()【导学号：60030004】\f(1,2) B．1C．2 \f(1,4)【解析】因为f′(1)＝1，所以eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1＋x－f1,x)＝1，所以eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(fx＋1－f1,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1＋x－f1,x)＝eq\f(1,2).【答案】A3．已知f′(x0)>0，若a＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，b＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)，c＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)，d＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)，e＝eq\o(lim,\s\do6(x→x0))eq\f(fx－fx0,x－x0)，则a，b，c，d，e的大小关系为__________．【解析】a＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，b＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝－f′(x0)，c＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝2eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)，d＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)，e＝eq\o(lim,\s\do6(x→x0))eq\f(fx－fx0,x－x0)＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b.【答案】c>a＝d＝e>b4．(2023·南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝eq\f(2,3)x3＋x2＋2x.(1)求在第1s内的平均速度；(2)求在1s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s?【解】(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为eq\f(f1－f0,1－0)＝eq\f(11,3)m/s.(2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(\f(2,3)1＋Δx3＋1＋Δx2＋21＋Δx－\f(11,3),Δx)＝6＋3Δx＋eq\f(2,3)(Δx)2.当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→6，所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.(3)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(\f(2,3)x＋Δx3＋x＋Δx2＋2x＋Δx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x3＋x2＋2x)),Δx)＝2x2＋2x＋2＋eq\f(2,3)(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2x2＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，即经过2s该物体的运动速度达到14m/s.1．导数的几何意义1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．(重点、难点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)[基础·初探]教材整理1导数的几何意义阅读教材P7～P8“例3”以上部分，完成下列问题．1．切线的概念：如图1­1­3，对于割线PPn(n＝1,2,3,4)，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线________________称为点P处的切线．图1­1­32．导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点________________处的切线的斜率k，即k＝__________.3．切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________．【答案】2.(x0，f(x0))f′(x0)－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．()(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．()(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．()【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2导函数阅读教材P8“例3”～P9部分，完成下列问题．对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝______________.【答案】eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()【解析】(1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝xeq\f(1,2)，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．(3)错．函数f(x)＝0为常函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．【答案】(1)×(2)×(3)×2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于()A．1 B．－1C．－3 D．3【解析】由题意知f′(2)＝3，即y′|x＝2＝3.【答案】D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]求曲线在某点处切线的方程已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【精彩点拨】(1)先求切点坐标，再求y′|x＝1，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．【自主解答】(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))[3＋3Δx＋Δx2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－8，))从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为eq\f(π,2)，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．[再练一题]1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________.【导学号：60030005】【解析】切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.【答案】x＋y－3＝0求切点坐标已知抛物线y＝2x2＋1.求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?【精彩点拨】eq\x(设点的坐标)→eq\x(求出在该点处的导数)→eq\x(利用条件建立方程)→eq\x(求出点的坐标)【自主解答】设切点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，该点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．[再练一题]2．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?【解】∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴抛物线的切线的斜率为8.由上例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求点的坐标为(2,9)．[探究共研型]求曲线过某点的切线方程探究1若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？【提示】根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．探究2曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．【提示】不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．探究3函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．【提示】区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．已知曲线f(x)＝eq\f(1,x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－eq\f(1,3)的曲线的切线方程．【精彩点拨】(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－eq\f(1,3)，求出切点，进而求出切线方程．【自主解答】(1)f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(－1,x＋Δxx)＝－eq\f(1,x2).设过点A(1,0)的切线的切点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，①则f′(x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，即该切线的斜率为k＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).因为点A(1,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))在切线上，所以eq\f(\f(1,x0)－0,x0－1)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，②解得x0＝eq\f(1,2).故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－eq\f(1,3)的切线的切点为Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，由(1)知，k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2)＝－eq\f(1,3)，得a＝±eq\r(3).所以切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(3),3))).故满足斜率为－eq\f(1,3)的曲线的切线方程为y－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,3)(x－eq\r(3))或y＋eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,3)(x＋eq\r(3))，即x＋3y－2eq\r(3)＝0或x＋3y＋2eq\r(3)＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．[再练一题]3．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．【解】设切点为Q(a，a2＋1)，eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝eq\f(a＋Δx2＋1－a2＋1,Δx)＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，eq\f(a2＋1－0,a－1)＝2a，解得a＝1±eq\r(2)，所求的切线方程为y＝(2＋2eq\r(2))x－(2＋2eq\r(2))或y＝(2－2eq\r(2))x－(2－2eq\r(2))．[构建·体系]1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在【解析】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．【答案】A2．曲线y＝eq\f(1,2)x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．165°【解析】∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)Δx))＝x.∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝1，∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.【答案】B3．曲线f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】f′(－2)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f－2＋Δx－f－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(1,－2＋Δx)＝－eq\f(1,2)，∴切线方程为y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.【答案】x＋2y＋4＝04．已知二次函数y＝f(x)的图象如图1­1­4所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．图1­1­4【解析】f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得f′(a)＞f′(b)．【答案】＞5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值.【导学号：60030006】【解】设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3,Δx)＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，∴切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)．当切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，有eq\f(49,27)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a，∴a＝eq\f(121,27).当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)，a的值为eq\f(121,27)或－5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2【解析】由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.【答案】D2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋bA．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依导数定义可求得y′＝3x2＋a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，选C.【答案】C3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()【导学号：60030007】A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y＝x3，所以y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．【答案】C4．(2023·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0【解析】设切点为(x0，y0)，∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.【答案】A5．曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))处的切线的斜率为()A．2 B．－4C．3 \f(1,4)【解】因为y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(－1,x2＋x·Δx)＝－eq\f(1,x2)，所以曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))处的切线斜率为k＝y′|x＝eq\f(1,2)＝－4.【答案】B二、填空题6．已知函数y＝f(x)的图象如图1­1­5所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1­1­5【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是__________.【解析】因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝y′|x＝－1＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－1＋2＋3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(Δx－4)＝－4，所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.【答案】4x＋y－2＝08．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．【解析】设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋2x0＋Δx－x\o\al(2,0)－2x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．【答案】(0,0)三、解答题9．(2023·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又eq\f(Δx＋12＋3－12＋3,Δx)＝Δx＋2.当Δx趋于0时Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．【解】y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0，∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为eq\f(y0－5,x0－3)＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3).∴2x0＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3)，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.[能力提升]1．(2023·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()【导学号：60030008】A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】∵eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－1，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－2，即f′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.【答案】D2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋bA．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依导数定义可求得y′＝3x2＋a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，选C.【答案】C3．(2023·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．【解析】设切点为P(x0，y0)．则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(ax0＋Δx2－ax\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.又y0＝axeq\o\al(2,0)，x0－y0－1＝0，联立以上三式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＝1，,y0＝ax\o\al(2,0)，,x0－y0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．【解】因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.因为g′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)＝3x2＋b，所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.因为在交点(1，c)处有公切线，所以2a＝3＋b.①又因为c＝a＋1，c＝1＋b，所以a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))导数的计算1．几个常用函数的导数1．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1几个常用函数的导数阅读教材P12～P14“1.2.2”节以上部分，完成下列问题．原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xf′(x)＝____f(x)＝x2f′(x)＝______f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝______________f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))【答案】012x－eq\f(1,x2)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝x3＋2，则y′＝3x2＋2.()(2)若y＝eq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2).()(3)若y＝e，则y′＝0.()【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P14“例1”以上部分内容，完成下列问题．原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝____________f(x)＝exf′(x)＝__________f(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)【答案】0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故②正确；显然③，④正确，故选C.【答案】C2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()\f(1,10) B．10C．10ln10 \f(1,10ln10)【解析】∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.【答案】C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.【精彩点拨】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\f(3,5))′＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5).(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．[再练一题]1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.【导学号：60030009】【解析】∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝eq\f(1,xln3)，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－eq\f(1,xln3).【答案】3x2－eq\f(1,xln3)利用公式求函数在某点处的导数质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝eq\f(π,3)时的速度；(2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】(1)先求s′(t)，再求s′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．【自主解答】(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即质点在t＝eq\f(π,3)时的速度为eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))处的导数．【解】(1)∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).[探究共研型]导数公式的应用探究1f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝eq\r(x)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？【提示】∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(eq\r(x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\f(1,2)－1，∴(xα)′＝α·xα－1.探究2点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【提示】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).(2023·长沙高二检测)求过曲线f(x)＝cosx上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】eq\x(求导数f′x0)→eq\x(计算f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))))→eq\x(所求直线斜率k＝－\f(1,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))))→eq\x(利用点斜式写出直线方程)【自主解答】因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切线斜率为f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直线的斜率为eq\f(2,3)eq\r(3)，所求直线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2,3)eq\r(3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).求曲线方程或切线方程时，应注意：1切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；2曲线在切点处的导数就是切线的斜率；3必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程．【解】∵f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点P(π，－1)处的切线斜率为f′(π)＝－sinπ＝0，所以所求直线的斜率不存在，所以所求直线方程为x＝π.[构建·体系]1．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，则α等于()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,8) \f(1,4)【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).【答案】D2．给出下列结论：①若y＝eq\f(1,x3)，则y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，则y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝eq\f(0－x3′,x6)＝eq\f(－3x2,x6)＝eq\f(－3,x4)，正确；对于②，y′＝eq\f(1,3)xeq\f(1,3)－1＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】B3．(2023·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】14．(2023·烟台高二检测)已知函数y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝__________.【导学号：60030010】【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝eq\f(1,x0)，∴y＝eq\f(1,x0)·x，又点(x0，y0)在曲线y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴lnx0＝eq\f(x0,x0)，∴x0＝e，∴k＝eq\f(1,e).【答案】eq\f(1,e)5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，①所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，②所以x0＝eq\f(1,ln3)＝log3e.所以k＝eln3.【答案】eln3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正确．【答案】C2．(2023·济南高二检测)在曲线f(x)＝eq\f(1,x)上切线的倾斜角为eq\f(3,4)π的点的坐标为()A．(1,1) B．(－1，－1)C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)【解析】切线的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.【答案】D3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.【答案】B4．(2023·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A．4 B．－4C．28 D．－28【解析】∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，则下列α的值中满足条件的是()\f(π,3) \f(π,6)\f(2,3)π \f(5,6)π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．当k＝0时，α＝eq\f(π,3).【答案】A二、填空题6．(2023·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)．故x＝1.【答案】17．直