高中数学人教A版第一章集合与函数概念 学业质量标准检测

第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·北京理，1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝eq\x(导学号69174474)(A)A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．2．设集合M＝{1,2}，则满足条件M∪N＝{1,2,3,4}的集合N的个数是eq\x(导学号69174475)(D)A．1 B．3 C．2 D．[解析]∵M＝{1,2}，M∪N＝{1,2,3,4}．∴N＝{3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个．3．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是eq\x(导学号69174476)(D)A．y＝－3x＋2 B．y＝eq\f(3,x)C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10[解析]显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在(－eq\f(4,3)，＋∞)上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D．4．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是eq\x(导学号69174477)(B)A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1[解析]∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值相反．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．5．已知集合P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}，集合Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}，则P与Q的关系是eq\x(导学号69174478)(B)A．P＝Q B．PQ C．PQ D．P∩Q＝∅[解析]P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}＝[0，＋∞)，所以QP.6．(2023·全国卷Ⅱ理，2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝eq\x(导学号69174479)(C)A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}[解析]∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴B＝{1,3}．7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则eq\x(导学号69174480)(B)A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2)[解析]因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(－1)．故选B．8．图中的图象所表示的函数的解析式为eq\x(导学号69174481)(B)A．y＝eq\f(3,2)|x－1|(0≤x≤2) B．y＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)|x－1|(0≤x≤2)C．y＝eq\f(3,2)－|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)[解析]0≤x≤1，y＝eq\f(3,2)x,1<x≤2，y＝3－eq\f(3,2)x.9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x<\f(1,2),fx－1＋1x≥\f(1,2)))，则f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(7,6))＝eq\x(导学号69174482)(A)A．－eq\f(1,6) B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,6) D．－eq\f(5,6)[解析]f(eq\f(1,4))＝2×eq\f(1,4)－1＝－eq\f(1,2)，f(eq\f(7,6))＝f(eq\f(7,6)－1)＋1＝f(eq\f(1,6))＋1＝2×eq\f(1,6)－1＋1＝eq\f(1,3)，∴f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(7,6))＝－eq\f(1,6)，故选A．10．(2023·全国卷Ⅰ理，2)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是eq\x(导学号69174483)(D)A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．11．(2023·全国卷Ⅱ文，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,x)i＝eq\x(导学号69174484)(B)A．0 B．m C．2m D．[解析]因为y＝f(x)，y＝|x2－2x－3|都关于x＝1对称，所以它们交点也关于x＝1对称，当m为偶数时，其和为2×eq\f(m,2)＝m，当m为奇数时，其和为2×eq\f(m－1,2)＋1＝m，因此选B．12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gx，若fx≥gx，,fx，若fx<gx.))则F(x)的最值是eq\x(导学号69174485)(B)A．最大值为3，最小值－1B．最大值为7－2eq\r(7)，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，又无最小值[解析]作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y＝2x＋4eq\r(1－x)的值域为__(－∞，4]\x(导学号69174486)[解析]令t＝eq\r(1－x)，则x＝1－t2(t≥0)，y＝2x＋4eq\r(1－x)＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4.又∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4.故原函数的值域是(－∞，4]．14．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有__2__人.eq\x(导学号69174487)[解析]结合Venn图可知，两种都没买的有2人．15．若函数f(x)的定义域为[－1,2]则函数f(3－2x)的定义域为__[eq\f(1,2)，2]\x(导学号69174488)[解析]由－1≤3－2x≤2解得eq\f(1,2)≤x≤2，故定义域为[eq\f(1,2)，2]．16．(2023·宁德高一检测)规定记号“Δ”表示一种运算，即aΔb＝eq\r(ab)＋a＋b，a，b∈R＋，若1Δk＝3，则函数f(x)＝kΔx的值域是__(1，＋∞)\x(导学号69174489)[解析]由题意，1Δk＝eq\r(1×k)＋1＋k＝3，得k＝1.f(x)＝1Δx＝eq\r(1×x)＋1＋x，即f(x)＝x＋eq\r(x)＋1＝(eq\r(x)＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，由于x>0，∴(eq\r(x)＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>1，因此函数f(x)的值域为(1，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝\x(导学号69174490)(1)求A∪B，(∁UA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．[解析](1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．∵∁UA＝{x|x＜2或x＞8}，∴(∁UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．(2)∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可，∴a＜8.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3，x≤0，,4x，x>0.))eq\x(导学号69174491)(1)求f(f(－1))；(2)若f(x0)>2，求x0的取值范围．[解析](1)∵f(－1)＝－(－1)＋3＝4，∴f(f(－1))＝f(4)＝4×4＝16.(2)当x0≤0时，令2<－x0＋3，得x0<1，此时x0≤0；当x0>0时，令2<4x0，得x0>eq\f(1,2)，∴x0≤0或x0>eq\f(1,2).19．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象经过原点，且对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立.eq\x(导学号69174492)(1)求实数a，b的值；(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数，且满足当x≥0时，g(x)＝f(x)，试求g(x)的解析式．[解析](1)∵函数图象经过原点，∴b＝0，又∵对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立．∴f(x)的对称轴为x＝1，∴a＝－2.(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝x2－2x，当x<0时，－x>0，g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x，∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是单调函数，求实数a的取值范围.eq\x(导学号69174493)[解析]函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.eq\x(导学号69174494)(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．[解析](1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.∵f(x)的图象过点A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．22．(本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝\x(导学号69174495)(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；(3)解不等式f(3－2x)>4.[解析](1)对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)．令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)－1]＝0.令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成立，所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.(2)证明：对任意x∈R，有f(x)＝f(eq\f(x,2)＋eq\f(x,2))＝f(eq\f(x,2))·f(eq\f(x,2))＝[f(eq\f(x,2))]2≥0.假设存在x0∈R，使f(x0)＝0，则对任意x>0，有f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x－x0)·f(x0)＝0.这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．所以，对任意x∈R，均有f(x)>0成立．(3)令x＝y＝1有f(1＋1)＝f(1)·f(1)