高中数学人教A版本册总复习总复习 2023版第2章对数

对数函数2．对数与对数运算第1课时对数1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3．理解常用对数、自然对数的概念及记法．[基础·初探]教材整理1对数及相关概念阅读教材P62前四个自然段，完成下列问题．1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数与自然对数(1)常用对数：我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N简记为lg_N.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e≈28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN简记为ln_N.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()【解析】(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√.由对数的定义可知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2指数与对数的关系以及对数的基本性质阅读教材P62最后三行至P63“例1”以上部分，完成下列问题．1．对数与指数的关系由此可得到对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．2．对数的基本性质性质1零和负数没有对数性质21的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)性质3底的对数等于1，即logaa＝1(a>0且a≠1)(1)若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3C．9 D．27【解析】∵log3x＝3，∴x＝33＝27.【答案】D(2)ln1＝________，lg10＝________.【解析】∵loga1＝0，∴ln1＝0，又logaa＝1，∴lg10＝1.【答案】01[小组合作型]对数的概念(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________；(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是________．【精彩点拨】根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．【自主解答】(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>eq\f(1,2)，所以x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0,x－2>0,x－2≠1，))解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)(2,3)∪(3，＋∞)根据对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式组，可求得对数式中字母的取值范围.[再练一题]1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是______.【导学号：97030093】【解析】由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0,2x－3>0,2x－3≠1，))解得x>eq\f(3,2)，且x≠2，所以实数x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)指数式与对数式的互化(1)将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：①43＝64；②lna＝b；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝n；④lg1000＝3；⑤logeq\f(1,2)8＝－3.(2)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.【精彩点拨】(1)根据ax＝N⇔logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)求解；(2)由于a，b是指数，所以可考虑用对数式表示出a，b，再把它们代入式子中．【自主解答】(1)①因为43＝64，所以log464＝3.②因为lna＝b，所以eb＝a.③因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝n，所以logeq\f(1,2)n＝m.④因为lg1000＝3，所以103＝1000.⑤因为logeq\f(1,2)8＝－3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝8.(2)∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m∵loga3＝n，∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝4×1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用ax＝N⇔logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．[再练一题]2．设a＝log310，b＝log37，则3a－b\f(10,7) \f(7,10)\f(10,49) \f(49,10)【解析】由a＝log310，b＝log37，得3a＝10,3b故3a－b＝eq\f(3a,3b)＝eq\f(10,7).【答案】A[探究共研型]对数的基本性质探究1你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)吗？【提示】因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.探究2如何解方程log4(log3x)＝0?【提示】借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.(1)设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10 B．13C．100 D．±100(2)若log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，求x的值．【精彩点拨】(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；(2)利用“底数”的对数为1，求解．【自主解答】(1)由5log5(2x－1)＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.【答案】B(2)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋2x－1＝2x2－1,3x2＋2x－1>0,2x2－1>0且2x2－1≠1，))解得x＝－2.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，要注意其结构特点：1它们是同底的；2指数中含有对数的形式；3其值为对数的真数.[再练一题]3．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值.【导学号：97030094】【解】∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.同理求得y＝16.∴x＋y＝80.1．下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．【答案】C2．已知logx8＝3，则x的值为()\f(1,2) B．2C．3 D．4【解析】由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.【答案】B3．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是()【导学号：97030095】\f(5,4)≤x＜2 \f(5,2)＜x＜2\f(5,4)＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3【解析】x应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－5>0,x－1>0,x－1≠1，))∴x>eq\f(5,4)，且x≠2.【答案】C4．已知logxeq\f(1,16)＝－4，则x＝()\f(1,2) B．1C．2 D．4【解析】∵logxeq\f(1,16)＝－4，∴x－4＝eq\f(1,16