二项式系数的性质-自制(第三节课)

10.4二项式定理——二项式系数的性质一、本节教材地位及命题趋势：高考对本单元的特点是基础和全面，每年对本单元知识点的考查没有遗漏。估计每年一道排列组合题，一道二项式定理题是不会变的，试题难度仍然回维持在较易到中等的程度。二项式定理的试题是多年来最缺少变化的试题，今后也很难有什么大的改变。二、教学目标：1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。三、复习策略：本节知识的学习或复习要重视基础，要按教学大纲和考试说明的要求弄懂遇按理，适当掌握一些方法，会分析。

3.二项式系数规律：2.二项展开式的通项:1.

二项式定理

二项式系数的性质(a+b)1……(a+b)2…(a+b)3………………(a+b)4……………(a+b)5……………(a+b)6…………………递推法二项式系数的性质(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………递推法杨辉三角《九章算术》杨辉杨辉三角《详解九章算法》中记载的表这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表：在欧洲，人们认为这个表是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal.1623—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。然而，类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，我们称它为杨辉三角。杨辉指出此方法出自《释锁》，且我国北宋数学家贾宪(约11世纪)已经用过它。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。杨辉三角:表中除“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和11121133114641151010511615201561用现代的观点看“杨辉三角”

当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O615201其定义域是rCrn为自变量的函数可看成是以从函数的角度看，{0,1,2,…,n}

当n=7时呢？f（r）rnO61520120103035Onf（r）n为奇数当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。归纳性质11121133114641151010511615201561f（r）rnO61520120103035Onf（r）rn是偶数n是奇数(1)对称性

与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)增减性与最大值

先增后减当n是偶数时，中间的一项取得最大值当n是偶数时，中间的两项同时取得最大值（2）增减性与最大值的证明

二项式系数的增减性由与1的大小决定可知，当时，

二项式系数前半部分是逐渐增大的，

由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

应用性质例1.(1)(1+2x)6展开式中二项式系数最大的项是第

项;(2)(1+2x)7展开式中二项式系数最大的项是第

项;(3)求(1+2x)7展开式中系数最大的项.解：(1)当r=时，二项式系数最大故二项式系数最大的是第4项(2)当r=时，二项式系数最大，即r=3或4故二项式系数最大的是第4项和第5项反思：此类问题一般先定r，再定是第几项.(r+1)(4)求(1-2x)7展开式中系数最大的项和系数最小的项.例1.(3)求(1+2x)7展开式中系数最大的项.解:(3)

设第r+1项系数最大,则：故系数最大项为例1：(4)求(1-2x)7展开式中系数最大的项和系数最小的项.分析：设第r+1项系数最大，则需讨论r的奇偶约分，麻烦！(4)求(1-2x)7展开式中系数最大的项和系数最小的项.解：展开式中系数正负相间，研究系数绝对值由可知r从0到5，系数的绝对值增大,r从5到7，系数的绝对值减小.故当r=5时，系数最小项为当r=4或6时，二者中系数较大者为系数最大项得当r=4时，系数最大项为2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是().1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().AA.第6项B.第7项

C.第6项和第7项D.第5项和第7项CA.第15项B.第16项C.第17项D.第18项3(1)已知展开式中只有第10项系数最大，求第五项；(2)若将“只有第10项”改为“第10项”呢？试求此时n值.

施展才华解：由于不含非1常数，展开式的系数即二项式系数3(1)已知展开式中只有第10项系数最大，求第五项；(2)若将“只有第10项”改为“第10项”呢？试求此时n值.

(1)依题意,n为偶数，当r=n/2时，系数最大解：

(2)若

n为偶数，同上得n=18若n

为奇数，则解得n=17或n=193(1)已知展开式中只有第10项系数最大，求第五项；(2)若将“只有第10项”改为“第10项”呢？试求此时n值.

综上故n=17，n=18或n=19除了运用组合数公式展开以外，你能利用二项式系数的对称性和增减性，解不等式吗？解：由C20r对称性和增减性得例5

证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例题选讲小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值

法可以使问题简单化。通常选取赋值

时取－1，1。-2-10941093２、若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于

；3、1＋2＝

．例题分析例1在的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.归纳总结(1)对称性

与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)增减性与最值

先增后减当n是偶数时，中间的一项取得最大值当n是偶数时，中间的两项同时取得最大值(3)注意区分“项的二项式系数”，“项的系数”、“项”三个概念1.

知识点：

2.

数学方法：

——利用不等式研究数列增减性和最值的思想对数列{an}，有①{an}递增

；{an}递减②若ak是最大项，则若ak是最大项，则二项式系数的性质(a+b)1……(a