高中数学高考一轮复习一轮复习 学案 有心二次曲线垂径定理_第1页
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有心二次曲线——课堂练习1.（2023年山东卷理科21题）平面直角坐标系中，椭圆：

的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.（I）求椭圆的方程；（II）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.（i）求证：点在定直线上;（ii）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.附：参考答案【解析】（I）由题意知：，解得，因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为（II）（=1\*romani）设，由可得，所以直线的斜率为，其直线方程为，即.设，联立方程组消去并整理可得，故由其判别式可得且，故，代入可得因此，所以直线的方程为联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上【用垂径定理】，,所以，，又，所以，即点在定直线上.（=2\*romanii）由（=1\*romani）知直线的方程为，令得，所以，又，所以，，所以，令，则，因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为有心二次曲线——课后检测（2023年浙江卷19题）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．(2023年江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当时，求点到直线的距离；（3）对任意的，求证：.附：参考答案1.【解】(1)由题意知，可设直线的方程为.由消去，得.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以.①将线段中点代入直线方程解得.②由①②得或.【用垂径定理】设中点，因为，，则，即，又，所以，，又因为，所以(2)令，则，且到直线的距离为.设的面积为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故面积的最大值为.【解】（1）由题设知，，故，所以线段中点的坐标为，由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过坐标原点，所以【用垂径定理】因为,又，所以直线的方程为，代入椭圆方程，得，因此，于是，直线的斜率为1，故，因此，.解法一：将直线，代入，解得，记，则，，故直线的斜率为，方程为，

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