结构力学李廉锟 第13章-结构弹性

第十三章结构弹性稳定§13-1

概述§13-2

用静力法确定临界荷载§13-3

具有弹性支座压杆的稳定§13-4

用能量法确定临界荷载§13-5

变截面压杆的稳定§13-6

剪力对临界荷载的影响§13-7

组合压杆的稳定

1.平衡状态的稳定性

结构失稳：结构离开稳定的平稳状态，转入不稳

定平衡状态或随遇平衡状态，称为结构失稳或结

构屈曲。

2.结构失稳13-1概述稳定的平衡状态

不稳定的平衡状态随遇平衡状态

结构失稳的类型：平衡状态：

第一类失稳第二类失稳

结构稳定分析的目的：防止不稳定的平衡状态或随遇平衡状态发生。

3.第一类失稳(分支点失稳)当F<Fcr

时，在杆的横向作用一微小的干扰力使杆弯曲，取消干扰力后，杆会恢复直线，此时，压杆的直线平衡是稳定的。

当F=Fcr

时，同样在杆的横向作用一微小的干扰力使杆弯曲，但取消干扰力后，杆不会恢复直线而仍保持弯曲平衡，于是出现了平衡形式的分支，即此时压杆即可以具有原来只受轴力的直线平衡，也可以具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式。FFcrδA

Fcr

O

F

δ

F~δ曲线

Fcr—临界荷载，特征：平衡形式会发生质变，即出现分支点。理想中心受压直杆

此时的状态称为临界状态。

4.第二类失稳(极值点失稳)压杆始终处于受压和弯曲的复合受力状态，随着荷载F的增加，杆件的挠度会逐渐增大。当荷载F达到临界值Fcr

时，即使不增加荷载甚至减小荷载，挠度仍会继续增加。压杆始终是处于弯曲平衡形式。

Fcr—临界荷载特征：平衡形式不发生分支现象，即没有新的平衡形式发生。F

e

δ

A

Fcr

O

F

δ

F~δ曲线第二类失稳较第一类失稳复杂，本章只讨论弹性结构的第一类失稳。

5.结构稳定的自由度结构稳定自由度：确定结构失稳时所有可能的变形形式所需的独立参数的数目。1个自由度2个自由度Fy无限多个自由度FφEI=∞Fy1y2EI=∞EI=∞2个自由度Fy1y2EI=∞EI=∞与支承弹簧的数量无关图示单自由度结构，竖杆为无限刚性，下端为抗转弹簧支承，其刚度为k

(发生单位转角所需的力矩)，设压杆处于随遇平衡状态时偏离竖直位，有倾角φ

，由平衡条件

静力法：根据分支点状态（临界状态）时结构新出现的平衡形式来建立平衡方程，从而求解临界荷载。13-2用静力法确定临界荷载A

Fcr

O

F

B

CφF

A

B

EI=∞

kl

F

A

B

kφφF~φ曲线分别用小变形理论和大变形理论求解此方程。有

1.刚性压杆（有限自由度）的临界荷载

(1)按小变形分析由于位移和变形都很小，近似地取，则平衡方程可写为关于方程的解：

b.φ

≠0

时，有，上式也成立，此时对应的是新的平衡形式。

因此，欲使φ

≠0

时，则必须有

Fl-k=0

a.

φ

=0

时，上式成立，对应的是结构原有的平衡形式。A

Fcr

O

F

B

CφF

A

B

EI=∞

kl

F

A

B

kφφF~φ曲线欲使φ

≠0

时，则必须有

Fl-k=0上式称为稳定方程或特征方程，反应了失稳时平衡形式的二重性，即结构在新形式下也能维持平衡的条件。由此方程可求出临界荷载

失稳后的位移值φ

无法确定，荷载—位移曲线如AB。F

A

B

EI=∞

klA

Fcr

O

F

B

Cφ

(2)按大变形分析由平衡方程可得即每一个φ

值对应一个F值，荷载—位移曲线如AC。而临界荷载为

当φ

→0

时，与按小变形分析所得结果相同。因此若只要求临界荷载而不需计算失稳后的位移，可按小变形理论分析。

F

A

B

kφφA

Fcr

O

F

B

Cφ

例13-1图式结构中两抗移弹簧的刚度均为k

，求结构的临界荷载。F

EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

Cy1

y2

F

ky1

ky2

解：结构有2个稳定自由度，设失稳时A、

B点的侧向位移分别是y1、

y2。对AB段∑MB=0，有对整体∑MC=0，有即

y1、y2

不能全为零，其非零解的条件是：上述方程的系数行列式为零，即展开得解为F

EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

Cy1

y2

F

ky1

ky2

因F2<F1，所以临界荷载为

理论上，F1、F2都是临界荷载，但两者对应的失稳形式不同，

F1=2.618kl时，失稳形式是

F2=0.382kl时，失稳形式是

而真正的失稳形式是

y1=1

F=2.618kl

y2=0.618

y1=1

y2=-1.618

F=0.382kl

F

EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

C

2.弹性压杆（无限自由度）的临界荷载F

y

y

x

lFs

B

A

C

F

yFs

M

l-x

A

C

图示一段固定另一端铰支的等截面弹性压杆。设失稳时杆件的挠曲线为y=y(x)，C为任一截面，其弯矩为M，取AC段分析，得

由

2.弹性压杆（无限自由度）的临界荷载F

y

y

x

lFs

B

A

C

F

yFs

M

l-x

A

C

由材料力学知，挠曲线与截面弯矩的关系是

于是

或

令

则有

此方程为非齐次线性常系数微分方程，其解为相应齐次微分方程的解加该微分方程的任意一个特解，即

式中A、B为积分常数，Fs/F也是未知数，用挠曲线的边界条件来确定这些未知数。边界条件为当x=0时，y=0，y′=0当x=l时，y=0代入挠曲线方程，得到关于A、B、Fs/F的齐次线性方程组关于方程的解（1）A=B=Fs/F=0，显然是方程的一组解，此时挠曲线y=0，故这组解对应的是原有的直线平衡形式。（2）A、B、Fs/F不全为零（非零解），才可得到弯曲的挠曲线方程y=y(x)，因此非零解对应的是失稳后的弯曲平衡形式。由线性代数知，齐次线性方程组为非零解的条件是：系数行列式为零。故A、

B、Fs/F是非零解，则必有上式即为该结构的稳定方程，展开整理得该方程为超越方程，可用试算法结合图解法求解，其解为于是，临界荷载为

一端弹性固定另一端自由的压杆，弹簧抗转刚度k1，试写出其稳定方程。13-3具有弹性支座压杆的稳定

1.弹性支座（弹性）压杆的稳定A

k1

1

F

y

y

1M

x

F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1由整体，有

\

1.弹性支座（弹性）压杆的稳定A

k1

1

F

y

y

1M

x

F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1取下段隔离体分析，由有因于是可得挠曲线微分方程或

令，上式可写为微分方程的通解（挠曲线方程）式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为当x=0时，y=0，y′=1当x=l时，将挠曲线方程代入边界条件，得F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1

右式为关于A，B，1的齐次线性方程组，当A=B=1=0时，对应原有的平衡形式；当A，B，1不全为零时，对应新的弯曲平衡形式，由线性代数知，此时上述方程的系数行列式为零，即得

稳定方程为展开行列式，得因，故稳定方程可写为F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1

例：等直压杆，上下端各有一抗转弹簧，刚度分别为k2

、

k1，上端还有一抗移弹簧，刚度为k3

，试写出其稳定方程。k2

φ2k3

F

B

A

EIk2

yφ

2k3

lx

k1

k1

φ1yφ

1

解：由整体平衡，得k2

2

k3δ

F

δ-y

l-x

FS

M

FN

=F2k2

φ2k3

F

B

A

EIk2

yφ

2k3

lx

k1

k1

φ1yφ

1k2

2

k3δ

F

δ-y

l-x

FS

M

FN

=F2

取上段隔离体分析，得

而，所以

令，则有

方程的通解（挠曲线方程）为

式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为

当

x=0时，y=0，当

x=l时，y=，y′=-2k2

φ2k3

F

B

A

EIk2

yφ

2k3

lx

k1

k1

φ1yφ

1

由此可列出四个关于常数A、B、、2的齐次线性方程，因A、B、、2不全为零，故其系数行列式应为零，于是得稳定方程为

A

B

2y=y=0

实际上该结构是弹性支座等直压杆的一般情况，上式就是等直压杆稳定方程的一般形式。

如取

k2=k3=0，上式则为故稳定方程为

展开得

故稳定方程为

展开得

如取

k1=∞，k2=0，上式则为k1=∞，

k2=0

EI

F

k3

lF

EI

k1

l

k2=k3=0FφEI=∞k1

l

k3

k2=0

对于刚性压杆，有EI=∞，若取

k2=0，则由上式可求出临界荷载为

2.刚架的稳定刚架的稳定分析通常较复杂，但某些结构和受力均较简单刚架稳定分析可简化为弹性支座压杆的计算。方法是将压杆单独取出，其余部分对它的约束作用以弹性支座代替。

2.刚架的稳定Fll1

EIEI1

BAC

1DEA(

b

)

(

a)

FBAEIk1

lk3

1图（a）所示刚架，AB为压杆，将其单独取出分析临界荷载。该杆两端的约束情况是

B端：不能侧移但可转动，而转动不是完全自由的，要受BC

杆的弹性约束，其效果相当于一个抗转弹簧，设刚度为k1。

A端：为铰结点，可自由转动，但侧移受链杆AD的弹性约束，其效果相当于一个抗移弹簧，设刚度为k3。于是，刚架中AB杆的稳定分析就简化为图（b）的弹性支座压杆的稳定。l1

EI1

BCZ1=1

_3iZ1=1

_l1

EI1

BC3i(

d

)

(

e)

(

c

)

l1

ADEAk3

1

弹簧刚度的计算抗移弹簧刚度k3

为链杆AD发生单位伸长（缩短）时，杆端作用的外力，见图（c）,

由，有

于是

抗转弹簧刚度k1

为BC杆的B端发生单位转角时，在杆端作用的力偶，由图（d）或图（e），可得

例:求图(a)所示刚架的临界荷载Fcr。FFFFAFBCIlFII1=2Il/2l/2正对称形式失稳

反对称形式失稳

(

b

)

(

a)

(

c

)

解：该刚架是一对称结构，荷载为正对称荷载，故失稳形式既可能是正对称的，也可能是反对称的。AFBCII1

AFBCII1

正对称形式的一半反对称形式的一半(

h

)

(

d

)

正对称形式失稳

根据正对称变形的特征，取半个结构，在

C截面（对称轴上的截面）用一滑动支座支承，AFBCII1

FBAEIk2

BAFEIk1

BCl/2iEI1

1

正对称形式失稳

(d

)

(

e)

(

g)

(

f)

=

=

如图。BC杆对B端的约束为抗转弹簧和水平方向的支座链杆，抗转弹簧刚度k2为根据等直压杆稳定方程的一般形式，取k1=0，k2=4EI/l，k3=∞，可得正对称形式失稳的稳定方程

方程的最小正根为

nl=3.83，故临界荷载为

BC杆对B端的转动约束（抗转弹簧k2），可以移到A端，于是，在一般形式的等直压杆稳定方程中，则取k1=4EI/l，k2=0，k3=∞，可得到相同的稳定方程及相同的临界荷载。

反对称形式失稳根据反对称变形的特征，取半个结构，在

C截面用一竖直方向的座链杆支承，如图。

BC杆对B端的弹性约束为抗转弹簧，抗转弹簧刚度k2为反对称形式失稳

=

=

根据等直压杆稳定方程的一般形式，取k1=0，k2=12EI/l，k3=0，可得反对称形式失稳的稳定方程

方程的最小正根为

nl=1.45，故临界荷载为

同样，BC杆对B端的转动约束（抗转弹簧k2），可以移到A端，于是，在一般形式的等直压杆稳定方程中，则取k1=12EI/l，k2=0，k3=0，可得到相同的稳定方程及相同的临界荷载。AFBCII1

FBAEIk2

BAFEIk1

l/2EI1

BC3i1(

h)

(

j)

(

i)

(

k)

FEI,l

k1=i

FEI,l

EI,2l

FFEI,l

FEI,l

k1=3i

>>=>正对称形式失稳反对称形式失稳

直接比较正对称失稳和反对称失稳的临界荷载如图所示，临界荷载按由大到小排列，故反对称失稳的临界荷载小于正对称失稳的临界荷载。等直压杆的临界荷载Fcr由此，可以比较该刚架正对称失稳和反对称失稳的临界荷载大小。随弹性支座的刚度k1，k2，k3增加而增大随杆的截面抗弯刚度EI的增加而增大随杆长l的增加而减小13-4用能量法确定临界荷载

1.势能驻值原理能量法确定临界荷载的理论依据是势能驻值原理。

势能驻值原理：弹性结构处于平衡状态时，对于满足约束及连续条件的所有可能的位移中，只有真实的位移（还须满足平衡条件）使结构的势能为驻值（极值），即结构势能的一阶变分为零。

13-4用能量法确定临界荷载

1.势能驻值原理结构的势能用Ep表示，结构势能的一阶变分为零，即Ep=0。势能驻值原理是变形体系虚功原理的另一种表达形式，实质上就是用能量形式表示的平衡条件。

结构的势能（或总势能）Ep，有

其中Vε—

结构的应变能

V—外力势能，等于外力所作虚功的负值，即

有n个稳定自由度的结构，其独立参数为a1，a2

，…，an。结构的失稳形式由这n个参数决定，故结构的势能则为这

n个参数的函数，即Ep=Ep(a1，a2，

…

，an)，于是，Ep的变分计算可转换为微分计算。

2.有限自由度的临界荷载

2.有限自由度的临界荷载给所有参数ai

一个任意微小的增量ai

（位移的变分），

i=1，2，

…

，n，则势能Ep

的变分Ep为由势能驻值原理

Ep=0，且a1

，a2，…

，

an的任意性，则必有

2.有限自由度的临界荷载方程为一组关于a1，a2

，…，an

的齐次线性方程。欲使a1，a2

，…，an

不全为零（对应失稳后新的平衡形），则方程的系数行列式应等于零，即得稳定方程，由此可计算出临界荷载。对于单自由度结构，上述方程为F

BAEI=∞

klFB

k

AΔ例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。

解：结构为单自由度结构，设失稳时杆件的转角为。弹簧的应变能荷载作用处的竖向位移

外力势能F

BAEI=∞

klFB

k

AΔ例：用能量法确定图示压杆的临界荷载。因此，结构势能（总势能）为由势能驻值原理，得

，于是有

为非零解的条件为

故临界荷载为

例：已知AB和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k，试用能量法确定结构的临界荷载。y1

y2

FΔ

ky1ky2EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

C

F

解：结构有2个稳定自由度，设失稳时两弹簧的伸长分别是y1，y2

，如图所示。

弹簧的应变能

荷载作用处的竖向位移

外力势能

例：已知AB和BC杆均为刚性，两个弹簧支座的刚度均为k，试用能量法确定结构的临界荷载。y1

y2

FΔ

ky1ky2EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

C

F

结构的势能（总势能）为

由势能驻值原理

得于是有

y1，y2应为非零解，故上式的系数行列式为零，即

展开并整理得方程的解为所以，结构的临界荷载为

3.无限自由度（弹性压杆）的临界荷载dx

ds

dy

FEIyxdx

Δ

ds

yl

图示弹性压杆，截面抗弯刚度EI，失稳时发生弯曲变形（不计轴向变形和剪切变形）。设失稳后的挠曲线为杆件发生弯曲变形，其应变能为而，故应变能也可写为

3.无限自由度（弹性压杆）的临界荷载dx

ds

dy

FEIyxdx

Δ

ds

yl

设荷载作用点的竖直方向位移为Δ。杆件微段长度dx，变形后的长度为ds，则变形前后的长度之差为

所以因而外力势能为于是，结构的势能为显然，EP是y

的函数，而挠曲线y=y(x)

是未知的，故EP是一个泛函。EP=0是对泛函求极值，即泛函的变分法。变分法（变分计算）既复杂且得到的是挠曲线函数y(x)的微分方程，而不是临界荷载。故通常不用变分计算（精确方法），而是使用近似方法，即瑞利—李兹法。

瑞利——李兹法假设挠曲线函数y为式中，--满足位移边界条件的已知函数，--任意未知参数（广义坐标）。这样临界状态的变形形式就由a1，a2，…

，an共n个参数确定，原无限自由度问题近似地简化为n个自由度问题。若假设的挠曲线函数y只取一项，则简化为单自由度。

瑞利——李兹法

讨论

(1)此方法为近似法，所假设的挠曲线与真实挠曲线越接近，误差越小。若假设的挠曲线恰好为真实挠曲线，则结果为精确值。

(2)近似的挠曲线相当于增加了约束，从而增大了结构的刚度，故此种方法求得的临界荷载近似值，总是大于精确值。

(3)给定的函数应满足位移边界条件，最好还能满足力的边界条件。例：图示为两端铰支的等截面压杆，试用能量法（瑞利—李兹法）求其临界荷载。

解：为简单起见，挠曲线函数只取一项，取三种不同的挠曲线分别计算。F

EIyxlyq

挠曲线的位移边界条件

当x=0、l时，y=0

（1）设挠曲线为正弦曲线满足位移边界条件。

应变能

外力势能例：图示为两端铰支的等截面压杆，试用能量法（瑞利—李兹法）求其临界荷载。F

EIyxlyq

因此，结构的势能

由势能驻值原理，有因a≠0，故临界荷载为

结果与静力法求得的精确解相同，这是因为所设的挠曲线正好是真实的挠曲线。

（2）设挠曲线为抛物线

应变能

外力势能

因此，结构的势能满足位移边界条件

根据势能驻值原理，有，且a≠0，于是临界荷载所得结果的误差很大，为21.6%。

（3）设挠曲线为均布荷载作用下的变形曲线

显然满足位移边界条件

应变能外力势能

因此，结构的势能

由势能驻值原理，有，且a≠0，故临界荷载误差很小，仅为0.12%

13-5变截面压杆的稳定

1.阶形杆工程中常见的两种变截面压杆：阶形杆，截面连续变化。截面呈阶梯形变化，上、下两段各的平衡微分方程分别是

于是挠曲微分方程为

EI1

F

l

EI2

l1

l2

xF

x

y1

δ

yy2

令

方程解为

挠曲方程y1、y2中共有A1、B