线性代数复习课件

线性代数与空间解析几何复习课件第一章矩阵及其初等变换1.1

矩阵及其运算1.2

矩阵的初等变换1.3

逆矩阵1.4

分块矩阵一、矩阵的概念

2.几类特殊矩阵：

二、矩阵的运算

1.线性运算：

（即满足交换律、结合律、分配率）2.矩阵的乘法：

3.方阵的幂：

4.矩阵的转置：

三、高斯消元法

行阶梯形

四、矩阵的初等变换

交换两行（列）的位置；用一非零数乘某一行（列）的所有元；把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去.定理

对矩阵A作一次行（列）初等变换，相当于在A的左（右）边乘上相应的初等矩阵.

五、矩阵的逆

设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得

AB=BA=I,

则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A-1=B.1.定义：

2.性质：

（设A、B是n阶可逆矩阵，数λ≠0）(1)A-1可逆，且(A-1)-1=A;(2)λA可逆，且(λA)-1=(1/λ)A-1;(3)AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1;(4)AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T;(5)Ak可逆，且(Ak)-1=(A-1)k;(6)|A-1|=|A|-1;3.矩阵可逆的条件：

3.等价矩阵：

六、分块矩阵第二章行列式2.1n阶行列式的定义2.2行列式的性质与计算2.3拉普拉斯展开定理2.4克莱默法则2.5矩阵的秩一、n阶行列式的定义１.二、三阶行列式：

对角线法则二阶与三阶行列式的计算２.n阶行列式的定义：

二、行列式的性质与计算１.行列式的性质：

(1)行列式与它的转置行列式相等；(2)互换行列式的两行（列）,行列式变号；如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零；(4)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；(5)行列式中如果有某行（列）元素都为零，则此行列式为零；(7)若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式可化为两个行列式之和；(8)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变；(6)行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零；

行列式性质小结：

2.三类初等变换：1.换行反号,

2.倍乘,

3.倍加.

3.三种为零：

1.有一行全为零,3.有两行成比例.

2.有两行相同,4.一种分解.5.1.按行展开：２.行列式的计算：

行列式的常用计算方法如下：(2)

利用行列式的性质计算：化为上（下）三角形行列式；（最常用）(1)利用行列式的定义计算：只适用于一些特殊的行列式或大多数元素为零的行列式；(3)

利用行列式展开公式计算：化高阶为低阶；(4)

利用递推关系计算：适用于含有字母的行列式；(5)

利用升阶法计算：在行列式值不变的情况下，加上特殊的一行和一列进行计算；(6)

利用范德蒙德行列式计算：只适用于范德蒙德行列式；(7)

利用分解之积计算：|AB|=|A||B|，|A|=|AT|；3.一些特殊行列式的值：

三、拉普拉斯展开定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。1.行列式按行（列）展开：2.拉普拉斯定理：在行列式D中任取k(1≤k≤n-1)行（列），由这k行（列）元所组成的一切k阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式D.四、克拉默法则1.求逆矩阵的一个有用的计算公式：2.克拉默法则：方阵A可逆的充要条件为|A|≠0.当A可逆时，设A可逆，则AX=b的唯一解为：五、矩阵的秩1.矩阵秩的定义：2.矩阵秩的有关结论：矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A的秩，记为R(A)=r.1.R(A)=0A=O；2.R(A)≥r

A有一个r阶子式不为零；

3.R(A)≤r

A的所有r+1阶子式全为零。

8.矩阵P,Q可逆，则

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，9.矩阵A可逆时，R(AB)=R(B)；10.矩阵B可逆时，R(AB)=R(A)；3.矩阵秩的求法：1.利用矩阵秩的定义；2.

利用初等行（列）变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，该矩阵中非零行的行数即为矩阵的秩；（常用）16.初等变换不改变矩阵的秩，即如果矩阵A与B等价，则R(A)=R(B)；第三章几何空间3.1

空间直角坐标系与向量3.2

向量的乘法3.3

平面3.4

空间直线一、空间直角坐标系与向量1.空间直角坐标系：

2.向量及其线性运算：

三个坐标轴的正方向符合右手系.向量：既有大小又有方向的量.设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),向量的线性运算:+=(a1+b1,a2+b2,a3+

b3),

k•=(ka1,ka2,ka3).线性运算满足的运算规律：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0

=;(4)+(-)=0;(5)1

=;(6)k(l

)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.基向量：向量在轴上的投影：AB||A’B’||,A’B’与u同向-||A’B’||,A’B’与u反向向量的方向余弦：向量线性运算的几何意义：平行四边形法则：是以为边的平行四边形的对角线.二、向量的乘法1.内积：

=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)=a1b1+a2b2

+a3b3

2.外积：

所确定的平面垂直，且符合右手系.3.混合积：

三、平面1.点法式方程：

2.一般式方程：

法向量3.截距式方程：

4.两平面夹角余弦公式：5.两平面垂直与平行的充要条件：//四、空间直线1.点向式方程：

2.参数式方程：

3.一般式方程：

4.两直线的夹角：5.两直线的位置关系：直线直线6.直线与平面的夹角：7.直线与平面的位置关系：第四章n维向量空间4.1

n维向量空间4.2

向量组的线性相关性4.3

向量组的秩与最大无关组4.4

线性方程组解的结构一、n维向量空间的概念1.n维实向量空间Rn满足：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0

=;(4)+(-)=0;(5)1

=;(6)k(l

)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.2.Rn的子空间：若则称V是Rn

的一个子空间.二、向量组的线性相关性定义：

若存在数

k1,k2,…,

km

使得则称向量为向量组1，2，…，m的线性组合，或称可由1，2，…，m线性表出.1.向量组的线性组合：设A=(1,2,…,n),则下列命题等价：1o

bL(1,2,…,n);2o

AX=b有解;3o重要结论：若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价.向量组等价的定义：2.向量组的线性相关性：定义若存在不全为零的数x1,x2,…,xm使得

x11+x22+…+xmm=0

则称1,2,…,m线性相关；否则，称1,2,…,m线性无关.线性相关性的判定：（1）向量组a1,a2,…,am线性相关《==》至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示．（2）向量组a1,a2,…,am线性无关，a1,a2,…,am，线性相关==》可由a1,a2,…,am线性表示，且表示式唯一．（3）向量组A：a1,a2,…,am线性相关《==》R(A)<m．（4）向量组A：a1,a2,…,am线性无关《==》R(A)=m．（5）“部分相关，整体必相关”．（6）“整体无关，部分必无关”．设向量组T满足（1）在T中有r个向量1,2,…,r线性无关；（2）T中任意r+1个向量都线性相关；则称1,2,…,r是向量组T的一个最大无关组，数r

为向量组T的秩.三、向量组的秩与最大无关组1.定义：2、最大无关组的等价定义：设向量组B是向量组A的部分组，若B线性无关，且A能由B线性表示，则B是A的一个最大无关组.3、向量组秩的重要结论：（1）矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩.（2）设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩（即R(B)≤R(A)）.（3）等价的向量组的秩相等. （4）4、Rn的基、维数与坐标Rn的一组基：Rn

的一个最大无关组Rn的维数(dimRn)：Rn

的秩,dimRn

=n.Rn,1,2,…,n为一组基，=x11+x22+…+xnn

在基1,2,…,n下的坐标一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性).四、线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的性质：（2）若为的解，为实数，则也是的解．（1）若为的解，则

也是的解.（3）Ax=0的解向量的线性组合仍为Ax=0的解.2、基础解系及其求法：基础解系定义：基础解系求法：（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出R(A)=r，同时也可知方程组的一个基础解系含有n-r个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.3、非齐次线性方程组解的性质：其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.（3）非齐次线性方程组Ax=b的通解：线性方程组解的情况：第五章特征值与特征向量5.1

特征值与特征向量的概念与计算5.2

矩阵的相似对角化5.3

n维向量空间的正交性5.4

实对称矩阵的相似对角化一、特征值与特征向量的概念与计算1.特征值与特征向量的定义：2.特征值与特征向量的性质：（5）矩阵A不同特征值的特征向量线性无关.3.特征值与特征向量的计算：求A的特征值与特征向量的步骤：二、矩阵的相似对角化1.相似矩阵的定义：2.相似矩阵的性质：（1）等价关系：反身性、对称性、传递性.（2）相似矩阵有相同的特征值.3.矩阵的相似对角化：相关定理：（2）

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（3）

矩阵A不同特征值的特征向量线性无关.（4）如果矩阵

A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.（6）n

阶矩阵A与对角矩阵相似三、n维向量空间的正交性1.内积的定义与性质：（1）定义：（2）性质：（3）向量的长度：（4）向量的夹角：2.n维向量的正交性：（1）定义：正交向量组线性无关.（2）标准正交向量组：3.施密特正交化方法：把线性无关向量组

标准正交化：4.正交矩阵：（1）定义：（2）性质：若实矩阵A满足AAT=ATA=I,则称A为正交矩阵.3）正交矩阵的乘积也是正交矩阵.四、实对称矩阵的相似对角化1.共轭矩阵：

共轭矩阵的性质：

2.实对称矩阵的特征值与特征向量：（1）实对称矩阵的特征值都是实数；（2）实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交；3.实对称矩阵的相似对角化： 对于任意n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵C，使得CTAC=C-1AC为对角矩阵.求正交矩阵C的步骤：第六章二次型与二次曲面6.1

实二次型及其标准型6.2

正定二次型6.3

曲面与空间曲线6.4

二次曲面一、实二次型及其标准形1.二次型及其矩阵：

称为

n元二次型.

则f(x1,…,xn)=XTAX.A:

二次型的矩阵.A的秩即为二次型的秩.2.合同变换：定义对n阶矩阵A,B,若存在可逆矩阵C,使CTAC=B,则称A与

B合同.记为X=CY，当C可逆时称为合同变换.3.用配方法化二次型为标准形：只含平方项的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

称为标准形.形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型称为规范形.定理1任一实二次型f(X)=XTAX都可用配方法化为标准形.定理2任何一个实二次型的规范形都是惟一的.4.用正交变换化二次型为标准形：

定理3

任一n元实二次型f(X)=XTAX都可用正交变换X=CY化为标准形1y12+

2

y22+…+n

yn2其中

1，2

，…，n是A的特征值.

二、正定二次型

定义

如果任一非零实向量X=(x1,x2,…,xn)T

都使f(X)=XTAX>0,则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵A称为正定矩阵.定理1f(X)=XTAX正定A的特征值全大于零.

推论

n

元二次型f(X)=XTAX正定f(X)的正惯性指数为n.定理2f(X)=XTAX正定A与I

合同.

定理3f(X)=XTAX正定A的顺序主子式全

大于零.

定理4

对于实对称矩阵A，以下命题等价：

(1)A为正定矩阵；

(2)A的特征值全为正实数；

(3)A与单位矩阵合同；

(4)A的各阶顺序主子式全大于零.定义2

对于二次型f(X)=XTAX及任一实向量X,

(1)如果f(X)=XTAX<0,则称f(X)为负定二次型；

(2)如果f(X)=XTAX≥0，则称f(X)为半正定二次型；

(3)如果f(X)=XTAX≤0，则称f(X)为半负定二次型；

(4)不是正定、半正定、负定、半负定的二次型称为不定二次型.定理5

对于二次型f(X)=XTAX，以下命题等价：

(1)f(X)为负定二次型；

(2)A的特征值全为负实数；

(3)f(X)的负惯性指数为n；

(4)A的顺序主子式满足：(-1)k

Pk>0(k=1,2,…,n).三、曲面与空间曲线1.曲面：空间点集

S={(x,y,z)|F(x,y,z)=0}称为由方程F(x,y,z)=0所确定的曲面.柱面：与定曲线C相交，与某一定直线平行的动直线L所形成的曲面称为柱面.椭圆柱面：抛物柱面：

S={(x,y,z)|y2=2x}双曲柱面：2.旋转曲面：以一条平面曲