5.4.3 正切函数的性质与图象教学设计

5.4.3正切函数的性质与图高一年级数学组张松学习目标1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．知识点

正切函数的图象与性质解析式

＝tan图象定义域值域R最小正π周期

奇偶性单调性对称性

奇函数在每一个区间上都单调递增对称中心思考

正切函数图象与直线＝π＋，有共点吗？答案

没有．正切曲线是由被互相平行的直线＝π隔开的无穷多支曲线组成的．1．切函数的定义域和值域都是×)2切函数图象是中心对称图形无数个对称中心√)3正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是×)4．切函数是增函数．(×)

xπ±，一、正切函数的奇偶性与周

期性例数)＝tan最小正周期为)A.B.CπD．2π(2)＝sin奇偶性为()A．函数C．奇非偶函数答案(1)A(2)A解析方法一

B偶函数D既是奇函数又是偶函数＝＝＝.方法二＝tan＝，∴＝.

(＝tan(2))定义域为，关于原点对称，又tan(－＝

()－)

＝－(，∴(为奇函数．反思感悟

与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)般地＝tan(＋的最小正周期为＝利用此公式来求周期．(2)断函数的奇偶性要先求函数的定义域否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断－与(的关系．跟踪训练(1)函数()A．奇函数B．偶函数C．是奇函数又是偶函数D．不是奇函数也不是偶函数(2)函的最小正周期是，则

答案(1)A(2)±2解析要使有意义，必须满足即≠π＋，且≠(2＋1)π(，∴函数(的定义域关于原点对称．又－＝＝－＝－(，故(＝是奇函数．(2)题意＝＝，∴|，∴＝±2.二、正切函数的单调性及其应用例较下列两个数的大小用“>”或“<”填空：①tan________tan；②tan________tan.答案①<②<

解析①tan＝tan，且0<<<，又＝tanx在上单调递增，所以<tan，即<tan.②tan＝tan，tan，因为0<<<，又＝tanx在上单调递增，所以<tan，则<tan.(2)函的单调区间．解∵＝tan(∈Z)上是增函数，∴－＋π<2＋π(∈Z)，即－＋(∴函数＝tan的单调递增区间是∈Z)，无单调递减区间．(学留)

反思感悟运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)函＋的单调区间的方法＝tan(＋>0)单调区间的求法是把＋成一个整体，解－π<＋＋π∈Z即可．时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间．跟踪训练求函数＝3tan的单调递减区间．解

＝3tan可化为＝－3tan，由π－<－<π＋，∈Z得2π－<<2π＋，∈Z故单调递减区间为，三、正切函数图象与性质的综合应用例设函数(

(1)函的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)不等式－1≤()≤的解集．解由－≠＋π(∈Z)，得≠＋2π(所以(的定义域是.因为＝，所以最小正周期＝＝＝2π.由－＋π<－<＋π(∈Z)，得－π<＋2π(∈Z)．所以函数(的单调递增区间是(∈Z)，无单调递减区间．由－∈Z)，得＝π＋(故函数(的对称中心是∈Z)．(2)－1≤tan≤，

得－＋π≤－≤＋π(∈Z)，解得＋π≤≤π(∈Z)．所以不等式－1≤()≤的解集是.反思感悟

解答正切函数图象与性质问题的注意点(1)称性：正切函数图象的对称中心是(∈Z)，不存在对称轴．(2)调性：正切函数在每一个区间(∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增．跟踪训练画出函数＝|tan的图象象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．解

由＝|tan得＝其图象如图：由图象可知，函数|定义域为，值域

为，＋∞)，是偶函数．函数＝|tan的周期＝π，函数＝|tan的单调递增区间为区间为1函数＝tan最小正周期为)A．2πB．πC.D.答案C解析

根据周期公式计算得＝＝.2．＝－2＋tan的单调递增区间是)A.，∈ZB.，∈ZC.，∈ZD.，∈Z

答案A解析

由－＋π<＋π，∈Z解得－π<π，3．的一个对称中心是)Aπ，0)答案C解析

令＋＝，得＝－，∈Z所以函数＝tan对称中心是，∈Z.令，可得函数的一个对称中心为.4．，∈的值域为________．答案解析∵∈，∴－∈，

∴tan∈(，)，∴值域为．5．较大小：tan________tan.答案>解析

因为，tan＝tan，又0<<<，＝t