8第八讲 鸽巢原理

第八讲

鸽巢原理课目课重课难教方建

1、知识与技能）初步了解鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感态度与价值观）体数学与生活的紧密联系，体验学数学、用数学的乐趣）理解知识的产生过，受到历史唯物注意的教育感数学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题用抽屉原理的知识解决简单的实际问题。理解“鸽巢原理出鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。探究证明→出结论→固练习一、知识梳理“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化用鸽巢问”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人类问依据的理论我们称之为“抽屉原理理最先是19世纪的德国数学家狄利克雷用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理之为“鸽巢问题题的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此巢问”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。二、方法归纳鸽巣原理是一个重要又基本的组合原,在解决数学问题时有非常重要的作用。1

①什么是鸽巣原,先从一个简单的例子入,把3个苹放在2个子里,共四种不同的放法如表放法1234

盒子13210

盒子20123无论哪一种放法,都可以必一个盒子放了两个或两个以上的苹果这结论是在“任意放法”的情况,得出的一个“必然结果类似的如有5只子飞进个鸽笼,那一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。如果有6封,任意投入5个箱,那一定有一个信箱至少有2封我们把这些例子中的“苹果一种物体，把“盒子箱”看作鸽,可得到鸽巣原理最简单的表达形式①利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余至少个=商+12、摸个色球计算方法。①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数＝颜色数×（至少数－1＋1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球无论摸出一个什么颜色的球能证一定有两个球是同色的。③公式：两种颜色：＋1＝3（个）三种颜色：＋1＝4（个）四颜色4＋1＝5个）鸽巢原理（一果m个体任意放进n个屉里m>n且n是零自然数m÷n=b…余数，那么一定有1抽屉里至少放进b+1本书。2

鸽巢原理（二国把kn个物体任意分别放进n个空抽屉k是整数，是非0的自然数么一定有一个抽中至少放进了k+1)个物体。三、课精讲例1）枚举法证明。由此发现，把4枝铅笔分配到3个文具盒中，一共有（）情况，在每种情况中，总有一个文具盒中至少有（）枝铅笔。（2）用数的分解法证明。似，共有（）中，至少有1个是

由此发现，把4分成3个，上面的枚举法相共有（）情况，每一种情分得的个数少大于等于（）。（3）用假设法证明。把4枝铅笔放进3个文具盒中，设先在每个文具盒中放铅笔，那么3个具盒里就放了（）铅笔，还剩（）枝铅笔。把剩下的铅笔再放进任意1个具盒里，则这个文具盒里就有（）铅笔了。以上三种方法都足以证明：把4枝笔放进3个具盒中，不管怎么放，总有1个文盒里至少放进（）铅笔。例2某班有男生人女生18人，下面说法正确的是（）A.少有2名生在同一个月出生的

B.至有2名生是在同一个月出生的C.全班至少5个是在同一个月出生的D.以上选项都有误【律法主要考查用抽屉原理的知解决实际问题。解析：一年有个，因为，2+1=3，以至少有名男生是在同一个月出生的，3

至少有名生是在同一个月出生的，，班至少有个是在同一个月出生的。【式训练1【度级A1、填一填：（1）水东小学六年级有30名生是二月份（按28天算）出生的，六年级至少有（）学生的生日是在二月的同一天。（2）有3个同一起练习投篮，如果他们一共投进16个球那么一定有1个同至少投进了（）球。（3）把6只鸡进5个鸡笼，至少有（）鸡要放进同个鸡里。（4）某班有个小书架，个同可以任意借阅，小书架上至少要有（）书，才可以保证至少有1个学能借到2本本以的书。2．某班48名学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票一段时间后的统计结果如下：规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（）才能当选？A.6B.7例3把一些苹果平均放在3个抽屉里，总有一个抽屉至少放入几个呢？请完成下表：【律法主要考查简单的抽屉原理解析：解决此类抽屉原理问题的一般思路为：放苹果最多的抽屉至少放进的个=苹个数除以抽屉数所得的+1（有余的情况下）。4

例

研究发现，在抽屉原理的问题中“抽”至少放入物体数的求法是用物体数除以（）数，当除得的商没有余时，至少放入的物体数就等于（）当除得的商有余数时，至少放入的物体数就等于（）。【律法主要考查解决简单抽屉原问题的一般思路解析重点考查学的归纳概括能力，加深对已学知识的理解。根据简单的抽屉原理：把多于个物体放到个屉中，至少有一个抽屉里的东西的个数不少于2；多于

（

乘以）物体放到个抽屉中，至少有一个抽屉里有不少于（）物体。例箱子中有个红球4个球，至少要取出（）才能保证两种颜色的球都有，至少要取（）才能保证有2个白球。【律法主要考查灵活运用抽屉原的知识解决问题。解：两种颜色分别看作个屉，考虑最差情况5个红球全部取出来，那么再任意取出一个都是白球，所以至少取出6个才能保证两种颜色的球都有；要保证有个白球，在取完所有红球的情况下再取2个即可。【式训练2【度级A1．在如下图的盒子中，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至少有种同的颜色？（三红四蓝四黄五绿）5

例6某同学为地震灾区小朋友捐献图，所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三类，捐书的情况是：有捐一本的，有捐两本的，还有捐三本的。问至少要有几位同学来捐书才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同？（每种类型的书最多捐一本）【律法主要考查考查综合运用排组合、抽屉原理的知识解决实际问题。解：析捐书的情况，捐一类的：故事书、科技书、教辅资料共三种；捐两类的：故事书和科技书、故事书和教辅资料书，科技书和教辅资料书共三种；捐三类的是一种；总共有种同的捐法。把这种情况看作7个抽屉，要保证有两位同学捐书的类型相同，只要名学即可。例

“六一儿童节那天，幼儿园买来了许多的果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择两种水果，那么至少要有（）小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有（）小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。【律法主要考查排列与组合的知；抽屉原理解析在已知的四种水果中任意选择两种，共有6种同的选择方法，那么至少要有7个朋友才能保证有两个人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么共有10种同的选择方法，至少要有11个朋友才能保证有两人拿的水果相同。【式练】【度级B1．在下面的方格中，将每一个格涂上红色或黄色，不论怎么涂，至少有几列的颜色是完全相同的？①两②两③上下黄④黄下红6

例将、黄、蓝三种颜色的帽子各顶入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种颜色，至少应取出（）顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（）；要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出（）。【律法主要考查综合运用抽屉原的知识解决问题解析解答此题的键是从极端的情况进行分析。假设取出的前5顶都是同一种颜色的帽子（把一种颜色取完）再取一顶就一定有两种颜色；）假设前10次取出的是前两种颜色的帽子（把两种颜色的帽子取完），再取出一顶，就能保证三种颜色都有；3把三种颜色看作三个抽屉，保证取出的帽子中至少有两个是同色的，至少应取4顶。例扑牌里学数学：一副扑克牌（取出两张王牌）。（1）在剩下的52张牌中任意抽9张至少有多少张是同花色的？（2）扑克牌一共有4种色，每种花色都有13张牌，问至少要抽出几张牌才能保证有一张是红桃？（3）至少要抽出多少张才能保有张牌是同一花色的？【律法主要考查综合运用抽屉原的知识解决实际问题。解：（1任意抽出9张牌假设每种花色的各有2张，剩下的张不管是什么花色，都可以保证至少有3张同花色的；（2要保证有一张是红桃，考虑到最差情况，将不是红桃的牌都抽光，只要再抽一张就一定是红桃；）要保证5是同花色的，可以假设4种花色的都抽取了4张只要再抽一张即可。四、讲结合题一)一：1、鸽巢原理（一果m个体任意放进n个抽屉里（m>n，是非自然数么一定有一个抽屉里至少放进了放进了（）个物体。2）7本放进3个抽，不管怎么放，总有1抽屉里至少有（）书。7

（2）如果把8本放进3个抽，不管怎么放，总有抽屉里至少有（）书。（3）如果把本书进3个屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有（）本书。（4）归纳总结：综合上面两种情况，要把a本放进抽屉里，如果（本）（）或a÷3=b（本）......2（本么一定有1个抽屉里至少放进（）书。3、鸽巢原理（二国把多与kn个物体任意分别放进n个空屉k是整数，是非0的然数么一定有一个抽屉中至少放进了（）物体。（）判断1、三个同学一起做游戏，其中定有两人性别相同。（）2、六（）45个同学中至少4生肖属相相同。（）3、有只兔10个笼子，果每只笼子最多放5，那么不管你怎么放，一定会有三个笼子里有一样多的小兔。（）4、糖盒子里有外形一样的巧克糖和水果糖各10，要想摸出2颗果糖，至少要摸出3颗。

（）54种色的扑克牌各1张张色相同的扑克牌要5张。（）（）择：1个方体木块的6个面分别画三种不同的平面图案怎画）个画面的图案相同。A.2B.3C.42、刘阿姨给孩子们买衣服，有、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子衣服的颜色一样，至少给（）个孩子买衣服。A.3B.4C.23红蓝黑小球各10个在个袋子里了保证摸出的小球有3个色相同，应至少摸出（）小球。A.7B.8C.94个孩分进4个班至有一个班分到的学生人数不少。A.2B.3C.45、小东玩掷塞子游戏，要保证出塞子的点数至少有两次相同，他最少要掷（）次。8

A.5B.6C.76、25人至少有（）属相是相同的。A.2B.3C.13D.24（）决题（1）把支笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个笔盒里的铅笔不少于6支？（2）一个袋子里装有红、黄、袜子各5，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只（）袋里有4种同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中定有3个小球的颜色相同？（4）有49名学共同参加体操表演，其中最小的8岁最大的11岁。参加体操表演的学生中是否一定有2名2名上在同年同月出生的？（5）把280张卡片分给若干名学，每人都要分到，但都不得超过10张试说明至少有6名学得到的卡片数同样多。9

五．课自测练习1、一个小组13个人其中至少有（）是同一个月出生的。2、6只子飞回5个鸽，至少有（）鸽子要飞进同一个鸽舍里。3、盒子里有同样大小的红球、球各3个要想摸出的球一定有2个是同色的，最少要摸出（）球。4、49名年妇女在广场上载歌舞，她们中至少有（）名妇女是同一个月出生5界水日”是每年的（）（）日。6、盒子里有红，黑，黄，蓝四颜色的球5个，摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出（）球。摸出的球一定有2个是不同色的，最少要摸出（）个球。7、一个由6个长为2厘米正方形组成的长方形，这个图形的周长是（）厘米。8一长方形的周长是l8米果它的长和宽都是整数米么这个长方形的面积多少种可能值请一列举。9、有个人住5个房间，至少有两个人住同一间房。为什么？（请你用图示的方法说明理由）10、把9本书放进2个抽屉里，总一个抽屉至少放5本书，为什么？11、望小学有367人，请问有有两个学生的生日是同一天？为什么？10

12、25枚子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（）。A.6B.7C.8D.913、花猫钓到了鲤鱼、草鱼、鱼三种鱼共12，放在桶里提回家去，路上遇见了小白猫，小花猫问小白猫：“你最爱吃什么鱼？”小白猫说：“我最爱吃的是鲤鱼。”小花猫说：“好，你只要从我的桶里随便拿出3条鱼，就一定会有你最爱吃的鲤鱼，不过你得先告诉我，我一共钓了几条鲤鱼？”小白猫说了一个数，并从桶里拿出3条，果然有鲤鱼，小花猫把1条鱼送给了小猫。那么，小花猫到底钓到了几条鲤鱼呢？11

第讲鸽问【答】课精例1）4；2（2；2（3）3；1；22例2。【式练】1）2（2）6

（3）2（4）412．答案：。解析：根据题意一共48票，已计了30票还有48-30=18票没计。现在小华得了13票，小红得了10票，要小华到的票数比小红多1就能当选。（18-3）÷2=7……1，7+1=8，以小华至少还要得8票能当选。例案：放苹果最多的抽屉至少放进的个苹果个数除以抽屉数所得的+（有余数的情况下）。例答：抽屉；商；+1。例答案6。【式练】【度级A1．答案：5+4+1=10个）答：至少要摸出10个，才能证有3不同的颜色。例6案：7+1=8（）答：至少要8位学来捐书，才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同。例答案：；11【式练】【度级B1.答：…12+1=3（列）答：不论如何涂色，至少有3列颜色是完全相同的。12

解：一列有四种不同的涂法（如下图），将9列作9个体，四种不同的涂法看成4个屉，9÷4=2…，即每涂色的方法各涂出2列，还剩下1列所以至少有2+1=3（）的颜色是完全相同。①两红②两③红下黄④黄下红例答案：；11；4。例案（1）9÷4=2…2+1=3张）答：至少有3张同花色的。（2）13×3+1=40（张）答：至少要抽出40张才能保有一张是红桃。（3）4×4+1=17（张）答：至少要抽出17张能保证5牌是同一花色的。四讲结题()一：1、22）3（2）3（3）4（4）b+13（）判断1、2.√3.前6个子分别放245只共要（31-15=16只，这16只论怎么放在剩下的个笼子里，总和前面有一个相同的，即一定会有2+1=3只笼子里有一样多的小兔．所以原题说法正确．4.×。根据题干分析可得10+2=12（）答：要想摸出2颗果糖，至少要摸出12颗故答案为．13

5.√。4×1+1=5（（）择：1.A2.B3.C4.B5.C6.B（）决题（13个笔，分别为5,5,6。屉原理，反证每个都≤5，最多3*5=15矛所以有最少一个以。（2以坏方法,取第一次时取得全是红色（五只）第二次取得是全是黄色（五只）第三次取一只这样只（3）个2乘4加1等9；如果按最坏的情况来,就是每种颜色都拿了个,样就乘以4等于再一个不管是什么颜色的都一定有3个色相同.所以2乘以加1,案是9个（4）抽屉问题，8岁到11岁有年8、9、10年有十二个月、四年就有48个月、有49名同、49÷48=1…1么，1+1=2(）所以，一定有两个同学同年同月出生（5）假设没有人上分到的卡片数相同，那么最多就5人分得的卡片张数相等，根据题意，那么1-10每个数字最多有人分到那分的卡片数最多为：张，不到280张，说明此假设不成立所以可得至少有6名学分得的卡片张数相等．五．课自测练习1、2；2、2；、4、5、3；226、5；6