突变理论在边坡稳定性综合评价中的应用

突变理论在边坡稳定性综合评价中的应用目录1234绪论边坡安全评价体系运用突变理论对边坡进行综合分析突变基本理论5结论1绪论边坡工程的稳定性评判是一个十分复杂而又重要的系统问题，包含的因素很多，涉及到很多不确定性问题。目前研究较多的方法集中于使用模糊数学对边坡进行安全稳定分析和模糊综合评判。这些方法从不同的角度对边坡稳定进行了研究，但合理的确定参数的隶属函数以及综合评判体系中各层指标权重的选择十分困难，且主观性较强。考虑边坡的现场情况，针对评价因素权重确定中的困难，把突变理论运用到边坡的综合评价中，利用突变理论在多准则评价决策中的优点，避免人为确定权重的主观性。1绪论突变理论为我们提供了研究岩体边坡稳定性的新方法：

根据表层岩体位移观测数据，通过建立势能函数或者通过拟合曲线，获得岩体系统是否失稳的判据，确定岩体边坡系统的临界状态，研究系统状态在变化时是否通过分叉集曲线，从而预测边坡系统的稳定状态。

利用突变理论进行边坡稳定性研究具有重要的理论和现实意义。2突变基本理论法国数学家Thom于1972年以奇点理论、稳定性理论等为基础，建立了突变理论，用来研究各种突变（不连续）现象的一个新兴数学分支，其主要方法是将各种突变现象归纳到不同类别的拓扑结构中，根据势函数把临界点分类，讨论各类临界点附近的非连续特性，并建立了7种初等突变模型，即：折叠型突变（FoldCatastrophe)、尖点型突变（CuspCatastrophe)、燕尾型突变（SwallowtailCatastrophe)、蝴蝶型突变（ButterflyCatastrophe)、椭圆脐点突变（EllipticUmbilic)、双曲突变（HyperbolicUmbilic)及抛物突变（ParabolicUmbilic)。2.1突变理论概述2突变基本理论对于初等突变理论而言，由于数学基础是根据系统的势函数而对临界点进行分类，因此突变理论研究的仍是状态的分岔，即平衡点间的相互转换问题。任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状态跃变到另一个平衡状态时，即发生了突变，该过程的全貌可通过一个光滑的平衡曲面（突变流形）来描述。突变理论所研究的就是描述这种突变过程的所有可能的平衡曲面。Thom通过数学推导，证明了渐变的控制空间所产生的突变行为（状态空间），在控制空间不超过4维、状态空间不超过2维时，各种初等突变可归结为7种基本类型。2.2初等突变类型2突变基本理论2.2初等突变类型

表17种基本突变类型2突变基本理论2.2.1尖点突变模型（最常见、应用最广泛）尖点突变模型势函数的一般表达式为：式中，y为状态变量，a、b为控制参数，V(x)表示一种势，即状态为x时，系统贮存的能量。当系统处于平衡状态时，有即平衡曲面方程为此三次方程的实根为一个或三个，其判别式为：当Δ>0时，有一个实根；Δ<0时，有三个互异的实根；Δ=0时，三个实根中有两个相同（a、b均不为零）或三个均相同（a=b=0）。

2突变基本理论2.2.1尖点突变模型（最常见、应用最广泛）尖点突变模型的一般特征：突然跳跃性滞后性多模态不可到达性发散性2突变基本理论2.2.2常用初等突变模型

Thom归纳的7种初等突变模型中较常用的模型有：尖点突变模型、燕尾突变模型和蝴蝶突变模型。设x为状态变量，a、b、c、d为控制变量，其归一公式如下所示：尖点突变模型归一公式：xa=a1/2，xb=b1/3;燕尾突变模型归一公式：xa=a1/2，xb=b1/3，xc=c1/4;蝴蝶突变模型归一公式：xa=a1/2，xb=b1/3，xc=c1/4

，xd=d1/5;2突变基本理论2.2.2常用初等突变模型

3种模型示意图如图2所示，其中，图2（a）为尖点突变模型系统，图2（b）为燕尾突变模型系统，图2（c）为蝴蝶突变模型系统。写在前面的是主要控制变量，后面的是次要控制变量。在确定控制变量的个数后就可以采用相应的突变模型，然后根据不同模型的归一公式计算出上层状态变量的突变函数值。xabxacbxcadb（b）（a）（c）图23种突变模型示意图3边坡安全评价体系这种多项目、多测点的监测可以较全面地反映边坡在不同时期的安全稳定性态，可以及时对边坡的发展趋势进行分析反馈。3.1边坡监测仪器布置图3边坡监测仪器布置图3边坡安全评价体系由于边坡的稳定控制主要是控制变形，监测也主要以变形监测为主，所以对第1层评价指标采用燕尾突变模型，变形是主要控制变量，应力其次，地下水的观测时间最短，所以影响程度最小。3.2边坡安全综合评价体系图4边坡安全综合评价体系3边坡安全评价体系边坡的变形观测又分内观和外观，内部观测能反映岩体中的深层结构面的演变情况，而岩石边坡中的不利结构面常常是引起边坡破坏的主要内在因素，因此是主要控制变量；外观主要是通过全站仪在外观位移标墩上测量边坡的外表的变化情况，是次要控制标量，因此对此层采用尖点突变模型。内观又由3种监测项目(测斜、单点位移计、多点位移计)组成，所以对此层元素采用燕尾突变模型；综合考虑到仪器位置及观测的时间长短、数据量的大小，将测斜作为主要控制变量，多点位移计其次。各评价层元素的相对重要性用归一公式中的a，b，c表示，3.2边坡安全综合评价体系4运用突变理论对边坡进行综合分析设定边坡最危险时的状态为0，最安全时为1。为了进行综合分析，要将底层指标(控制变量)进行标准化处理，得到其安全数值。通常底层指标既有定量指标，也有定性指标，两者的规格化的处理方法不同。由于本评价体系是完全基于现场监测的基础建立的，因此都是定量指标，只需按照一定的控制标准进行转化都可以将其转化到0～1范围内的越大越好型无量纲指标值。4.1底层监测信息标准化4运用突变理论对边坡进行综合分析根据长期的监测数据以及工程经验，可以将测点的变化速率划分为几个区间，变化速率标准化建议区间见下表。（参考：侯玉成.土石坝健康诊断理论与方法研究[硕士学位论文].河海大学，2005）4.1底层监测信息标准化表2变化速率标准化建议区间4运用突变理论对边坡进行综合分析设测点的变化速率为vt，标准化后的数值为ut

。当vt的数值位于不同的区间时，分别有如下的标准化公式：4.1底层监测信息标准化4运用突变理论对边坡进行综合分析当对表1中的区间的界线值x1，x2，x3取不同的值时，可以得到不同仪器原始速率vt的标准化后的不同数值。针对测斜仪的监测数据，取x1=0.5mm/d，x2=1mm/d，x3=2mm/d。例如测点1在2004年的位移速率vt=0.84mm/d，用上面的标准化公式，ut=0.75-(0.84-0.50)(0.75-0.50)/0.50=0.58。同法可算出其余仪器在0～1内的指标值。根据底层指标的标准化数值，按归一公式可以算出各控制变量的相应中间值，即突变级数值。然后逐级向上计算，可得到边坡安全的总突变级数值。4.1底层监测信息标准化4运用突变理论对边坡进行综合分析利用突变理论进行多目标综合分析评价决策时，要考虑两种原则，即“非互补”评价决策和“互补”评价决策。（参考：三峡水工建筑物安全监控与反馈设计，左书）

4.2互补原则和非互补原则在评价中的使用4运用突变理论对边坡进行综合分析若一个系统的诸控制变量(如a，b，c，d)之间不可互相替代，即不可相互弥补其不足，因而按归一公式求得系统状态变量x的值时，要从诸控制变量相对应的突变级数值中选取一个最小的作为系统的x值，即“大中取小”的“非互补”原则。若一个系统的诸控制变量之间存在相互关联作用，则应取控制变量对应的突变级数的平均值来作为系统的x值，即“互补”原则。4.2互补原则和非互补原则在评价中的使用4运用突变理论对边坡进行综合分析由于在整个综合评判过程中，诸控制变量的底层指标和突变级数值均转化为[0，1]区间内的越大越优型，所以最终的总突变级数值也越大越优。

通过分析不同时期的监测数据，可以得出不同时期的总突变级数值，从而分析边坡安全状态的变化情况。若突变值随时间的推移而增大或基本稳定，说明该边坡的安全状态向好的方向发展；若突变值随时间的推移而明显减小，则应引起注意。4.2互补原则和非互补原则在评价中的使用4运用突变理论对边坡进行综合分析4.3实例计算表3变形指标计算结果根据突变理论综合分析的步骤，对岩石高边坡进行了安全评判。按归一公式分别计算各指标的突变级数值，变形指标的计算结果见表3所示。4运用突变理论对边坡进行综合分析4.3实例计算表3中内观的3类监测项目(测斜、多点、单点)，代号分别为A1，A2，A3，采用非互补型蝴蝶突变模型；外观指标下分3个子指标(断面560，610，560)，代号分别为B1，B2，B3，采用互补型蝴蝶突变模型。求出内观、外观指标值后，采用尖点突变模型计算变形评判指标的总突变函数值。4运用突变理论对边坡进行综合分析4.3实例计算同理可求出应力和地下水的突变函数值：X应力=0.90，X地下水=0.94。采用非互补型蝴蝶突变模型可得到边坡的总突变函数值为0.87。同理可以求出第二年边坡的总突变值为0.89。4运用突变理论对边坡进行综合分析从连续2年的突变值可以看出边坡的总突变值均较大，且基本稳定，有小幅增大。说明边坡的安全状态基本正常，且有向好的方向发展的趋势。