6【提高】《反比例函数》全章复习与巩固(培优课程讲义例题练习)

反比例函数章复习与巩（提高）【习标1．使学生理解并掌握反比例函的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

y

kx

，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3能据图象数形结合地分析并掌握反比例函数

y

kx

的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【识络【点理要一反例数概一般地形

y

kx

(

为常数，k

)的函数称为反比例函数其x是变量，

y是函数，自变量的取值范围是不等于的切实数.要诠：在

y

kx

中，自变量x的值范围是

，

y

kx

(

)可写成(

)的形式，也可以写成

的形式要二反例数析的定反比例函数解析式的确定方法是待定系数.由反比例函数

y

kx

中，只有一个待定系数

，因此只需要知道一对

的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出

的值，从而确定其解析.要三反例数图和质1.反例数图反比例函数

y

kx

的图象是双曲线它有两个分支这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴轴没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要诠：

观察反比例函数

的图象可得和y的都不能为0且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①

y

kx

(0)

的图象是轴对称图形，对称轴为

和y

两条直线；②

ky(kx

的图象是中心对称图形，对称中心为原点0，0③

y

kk和yxx

(k≠0)在同一坐标系中的图象关

轴对称，也关于

y

轴对称注：正比例函数y与反比例函数y

kx

，当k时两图象没有交点；时两图象必有两个交点，且这两1个交点关于原点成中心对.2.反例数性（1）图象位置与反比例函数性当时，y同，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的大而减小；当时、y异，图象在第二、四象限，且在每个象限内，yx的大而增大（2）若点(

，b

)在反比例函数

y

kx

的图象上，则点（

）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对.（3）正比例函数与反比例函数性质比较正比例函数解析式

反比例函数图像

直线

有两个分支组成的曲线（双曲线）位置

，一、三象限；

，一、三象限

增减性

kkk

，二、四象限，y随的大而增大，y随的大而减小

kkk

，二、四象限，在每个象限，随的大而减小，在每个象限，随的大而增大（4）反比例函数y＝

中k

的意义①过双曲线y(k上任意一点作x轴y的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线y

(k≠0)上意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为

k

.要四应反例数决际题注以几1．反比例函数在现实世界中普存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意变量的取值范.【型题类一确反例数解式1上区一模）在平面直角标系中，反比例函数y=（＞，k＞0的图象经过点A，（，n，过点B作y轴垂，垂足C，eq\o\ac(△,)ABC面积为，求点A坐标．【路拨根据图象eq\o\ac(△,)ABC的积求出值，根据（，出比例函数的解析式，把代入解析式求出可．【案解】解：B（2，1BC=2，ABC的积为2，

×2（﹣1）=2解得：，B（2，反比例函数解析式为，时m=，∴点A坐标为（，3【结华本题考查的是反比例函数系数的几何意义，用待定系数法求出k、根据三角形的面积求出的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用．举反：【变式反例函数

y

kx

与一次函数

yax

的图象都经过点P(2

时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系.【案因为双曲线

y

kx

经过点P(2，－1)，所以

k

．所以反比例函数的关系式为

y

x

，所以当

时，y

．当

x

时，由题意知

ax

，所以直线

ax

经过点2，－1)和1，2)，所以有

a2,

解得b所以一次函数解析式为

．类二反例数图及质2知比例函数

y

kx

(k＜0)的图象上有两A(

x，y11

)

x，2

)

x1

，则

y1

2

的值是)．A．正数B．负数C．非数．不能确定【路拨一定要确定了A点和B点在的象限，才能够判定

y1

2

的值.【案D；【析分三种情形作图求解．(1)若

x12

，如图①，有

y，y12

2

＜0，即

y1

2

是负数；(2)若

x12

，如图②，有

y1

2

，

y1

2

＞0，即

y1

2

是正数；(3)若

x1

，如图③，有

y1

2

，

y1

2

＜0，即

y1

2

是负数．

；；所以

y1

2

的值不确定，故选D项【结华根据反比例函数的性质较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限能一概而论.举反：【变式】已知

，点P（

，

）在反比例函数的象上，则直线不经过的象限是（）A.第象限B.第象限C.第象限D.第四象限【案C；提示：由

a，（a，b）反比例函数

x

的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以

，

，直线yax过一、二、四象限3博反比例函数y=（＞0常数y=在第一象限内的图象如图示，点M在y=的象上MC⊥x轴于点Cy=的象于点AMDy轴点Dy=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)OCA②四形OAMB面积不变；③当A是的点时，则点B的点．其中正确结论的个数是（）A．0B1C2D【路拨由反比例系数的几何意义可得答案；②由边形的面积矩形OCMD积（三角形ODB面+面积三角形OCA答可知；③连，点A是MC的点可eq\o\ac(△,得)和OAC面积相等，根eq\o\ac(△,据)的积△的积、△ODB与△OCA的积相等解答可得．【案D．

【析解：由于A、B在一反比例函数y=图上，则ODBOCA的面积相等，都为×2=1正确；②由矩形OCMD三角形三角形OCA为值则四边形的积会发生变化，正确；③连OM，点A是MC的点，则△OAC的积相等，∵△的面积eq\o\ac(△,=)面积=，△与OCA的面积相等，∴△与OAM的面积相等，∴△和△OBM面相等，∴点一是的中点．正确；故选：D【结华本题考查了反比例函数y=（≠0中k的何意义，即过双曲线上任意一点引轴、y轴线，所得矩形面积为k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．4、比例函数y

x

与一次函数(0)

在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【案C；【析一次函数

是经过定点（1，0排掉B、D答；选项中

的符号自相矛盾，选项C符合要.【结华还可以按照m＞0，＜0分画出函数图象，看哪一个选项符合要.举反：【变式知＞b,

则函数

y与y

ax

在同一坐标系

中的图象不可能().【案B；提示因从的图上分析于直线来说是

<0,

则

对反比例函数来说，

，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图.类三反例数一函综数

5、图所示，在平面直角坐标中，一次函数m(≠0)的图象相交于A两．

(

≠0)的图象与反比例函求：(1)根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当

为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【案解】1解：(1)由图象可知：点A的坐为，)点的坐标－1，－1)．2∵反例函数

m

(m

1的图象经过点，)，2

＝1．∴反例函数的解析式为：

1

．∵一函数

kx

的图象经过点A

2,

12

，点B(－1，，∴

k

k2解得：1b.2∴一函数的解析式为

112

．(2)由图象可知：当

＞2或－l＜

＜0时次函数值大于反比例函数值．

【结华次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所.举反：【变式所示次函数

kx

的图象与反比例函数

m

(x0)

的图象交于点P，PA⊥x轴点A，PBy于点B，一次函数的图象分别交x轴于点C、点D，且

△

，

1

．(1)求点D的标；(2)求一次函数与反比例函数的达式；(3)根据图象写出当【案

取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？解：(1)由一次函数

可知：D(0，3)(2)设P(

a

，

)，则＝

a

，

OC

13

a

，得

Ca

．由点C在线

上，得

13

，

＝，DB＝3＝3＋3)＝－＝9＝．由

△DBP

12

19272

，∴

a

＝6，∴

32

，

＝，

＝．∴一函数的表达式为

3，反例函数的表达式y．2x(3)根据图象可知：当时，一次函数的值小于反比例函数的值．类四反例数实应6作一种产品先材料加达到60后进行操作该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为

．据了解，设该材料加热时，温与间成次函数关系停加热进行操作时度

y

与时间

成反比例关系(如图)已该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min后度达到60℃(1)分别求出将材料加热和停止热进行操作时，

y

与

的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温低于时，须停止操作，那么从开始加热到停止操

作，共经历了多少时间？【路拨（1）首先根据题意，材加热时，温度

y

与时间

成一次函数关系；停止加热进行操作时度

y

与时间

成反比例关系将题中数据代入待定系数法可得两个函数的关系式；）

y

＝15代入

300

中，进一步求解可得答案．【案解】解：依题意知两函数图象的交点(，60)(1)设材料加热时，函数解析式15有60b15(0．∴

．设进行制作时函数解析式为

1

．则

k300

，∴

300

(

≥5)(2)依题意知

300

＝15，x＝20．∴从开始加热到停止操作共经历了．【结华把握住象的关键点据反比例函数与一次函数的定义用待定系数法解析式，并利用解析式解决实际问.【巩固练】一选题1.已函数

m

的反比例函数且象在第二四限内则

的值（

AB．－2C．±2D

122.如是三个反比例函数

ky1x

、

y

k2、yx

在

轴上方的图象，由此观察得到k，k，12

3

的大小关系（）.A．

k1

3

B．

k321C．

k23

D．

k31

23.如，等腰直角三角形ABC于第一象限，角顶点A在直上其中A点横坐标为1条角边AB分别平行于x轴轴曲

(≠0)与有点，则k的取值范围是（）A．

B．

C．

D．

4.（眉山如图AB是曲线y=上两点，过A点作ACx轴，交于D点垂足为．eq\o\ac(△,若)ADO的积为1，为OB的中点，则k的值（）A．

8B．

C．3D．4

5.（宜）函数y=

的图象可能是（）A

B

C．

D．6.如所示，在同一直角坐标系中，函数

kx

和函数

(

是常数且

≠0)的图象只可能是)．7.如所示反例函数

4的图象与直线yx

的交点为A，点A作y轴平行线与过点B作x轴平线相交于点C，则△的积为（AB．6C．4．28.如，反比例函数

的图象经过点A(－1,－2).则当＞1时，函数值y的值范围是（）A.

y

＞1＜

y

＜1C.

y

＞2D.0＜

y

＜2

二填题9.直

y

y

4x

交于（

x，y1

x，2

两则

2xy121＝___________．已知y与成比例(比例系数为k)y与x反比例(例系数为k，函数122yy1

2

的图象经过点(1，2)，

)，

8kk12

的值为_______.11.在数y

x

（k

为常数）的图象上有三个点（，－1，)1

12

，y

数值y，y，的小为_________.1212.已知点A(a，5)，B(2，)关x对称，若反比例函数的图象经过点C(a，，则这个反比例函数的表达式____________.13.已知（

x，y11

x，2

2

x，y3

）是反比例函数

y

2x

的图象上的三个点，并且yy，x，x1313

的大小关系是.14．有反比例函数

y

kx

，(

x，11

)，(

x

，y2

)为其图象上两点，若

x12

，y1

2

，则

的取值范围是_______．15齐哈尔如点A是比例函数图象上一点点A作ABy轴于点B点CD在x上，且BCAD，四边形ABCD面积为，则这个反比例函数的解析式．16图所示是一次函数

ykx1

和反比例函数

y

x

的图象察象写出当

y1

时，x取值范围为．三解题17.（吉林图平直径坐标系中比例函数y=（x＞0图象上有一点A（m点A作⊥x轴点B，将B向平移个单位长度得到点C过点作y轴平行线交反比例函数的图象于点D，CD=（1点D的坐标为（含m的子示（2求反比例函数的解析式．18.如图所示，已知双曲线

(k0)

，经过斜边OB的点D与直角边AB于点C，DE⊥OA，

△

，求反比例函数的解析式．19.如所示，一次函数

x

的图象经过点－1，与比例函数

(k为不等于0的数的象在第一象限交于点A(1n)求：(1)一次函数和反比例函数的解式；(2)当1≤

≤6时反比例函数

的取值范围．

20.（绵）如图，反比例数y=（＞0与正比例函数y=ax相于A（1，（﹣k，﹣）两点．（1求反比例函数和正比例函数的解析式；（2将正比例函数y=ax的象移，得到一次函数的图象，与函数y=（＞）的图象交于C（x1，y1D（x，|x1﹣•|y1﹣y2，求值．【案解析一选题1.【案B；＝．【解析】由题意可知解m0.2.【案B；3.【案C；【解析曲经过点A和的中时k或k4

时曲

与ABC有点4.【案B；【解析】过点B作BE轴于点，∵D为OB的点，∴CD是△OBE的位线，即CD=BE设A，B（2x，∵△ADO的积为1，

，AD=﹣，∴AD，（﹣），解得y=，∴k=x=y=．选B．【答案【解析】函数y=

是反比例的象向左移动一个单位，

3333即函数y=

是图象是反比例y=的象双曲线向左移动一个单位．故选C.6.【案B；【解析】可用排除法确定选项．由函数

kx

的解析式可知，其图象应过点(0，所以可排除C两；项，函数

的图象可知＜0，而由函数

kx

的图象可知k＞0，这是一个矛盾，可排除项7.【案A；【解析】设点B的坐为

，

)，由对称性知点A的标为

(

．∴

△

12

12

．∵点B(ab)双曲线

4

上，∴

b

4a

．∴

ab

．∴

△ABC

．8.【案D；【解析】在第一象限，

y

随

的增大而减小，且

y

＞0，所以当

＞1时，0＜

y

＜2.二填题9.【案20；【解析】由题意x，以xyy1112211y.1110.【答案】9；2【解析】由题意kk2yy11.【答案】；31

1，解得，k，12

k12

.【解析

在限－2＜－1

y123

.12.【答案】

10

；【解析】由题意，

，

，设反比例函数为

，∴

，10∴.xx13.【答案】；321【解析】在第二象限，反比例函数的k14.【答案】；

y

值随着

的增大而增.

【解析】由题意可判断函数图象在一、三象限，所以15.【答案】y=﹣；【解析】过A点x轴垂线，如图：

k，得k

.根据反比例函数的几何意义可得：四边形的面积为3即k|=3，又函图象在二、四象限，k=﹣3即函数解析式为：y=﹣．16.【答案】

x或x；【解析】由图象观察

y1

2

，找图象中一次函数图象在反比例函数上方的部.三解题【解析】解）A（，ABx轴点B，∴的标为，0∵将点右