高中数学人教A版1本册总复习总复习 市获奖

2023学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，没小题5分，满分60分）1．已知命题p：存在x∈R，使得ex＞x，则￢p为（）A．￢p：存在x∈R，使得ex＜xB．￢p：任意x∈R，总有ex＜xC．￢p：存在x∈R，使得ex≤xD．￢p：任意x∈R，总有ex≤x2．双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±4xB．y=±2xC．y=±D．y=±x3．下列求导正确的是（）A．（）′=B．（log2x）′=C．（3x+1）′=x•3x﹣1+1D．（cosx）′=sinx4．命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．05．“a=﹣2”是“直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件6．过M（1，2）作直线与抛物线y2=8x，有且只有一个公共点，这样的直线有（）条．A．1B．2C．3D．47．当x=2时，函数f（x）=ax3﹣bx+4有极值﹣，则函数的解析式为（）A．f（x）=x3﹣4x+4B．f（x）=x2+4C．f（x）=3x3+4x+4D．f（x）=3x3﹣4x+48．若θ是任意实数，则方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知抛物线x2=2py（p＞0），斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．y=﹣1B．y=1C．y=﹣2D．y=211．P为椭圆上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则•等于（）A．3B．C．2D．212．已知f（x）=，若直线y=kx﹣与f（x）的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣3，﹣）∪（﹣，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于．14．已知p：x≤1，q：x≤2a﹣1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是．15．若函数f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是．16．如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知p：“方程﹣=1”表示双曲线；q：“关于x的方程x2﹣mx+1=0没有实数根”．若“￢p”和“p∨q”都是真命题，求m的取值范围．18．已知函数f（x）=（x2+x﹣1）ex（x∈R）．（1）求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．19．已知圆P与直线x=﹣1相切，且经过（1，0），设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点A的坐标为（2，1），点B在曲线C上运动，求线段AB中点的轨迹方程．20．某物理实验室做实验，需要一个体积为72m3的长方体封闭纸盒．若纸盒底面一边的长是另一边长的2倍，S表示纸盒的表面积，x表示纸盒底面上较短的边长．（1）试写出S与x间的函数关系式；（2）当x取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸盒最少？（值得厚度忽略不计）21．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆M的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别做CE，DF垂直x轴于E，F两点，若四边形CEFD的面积为，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若a≥0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对任意x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，有＞﹣1．

2023学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，没小题5分，满分60分）1．已知命题p：存在x∈R，使得ex＞x，则￢p为（）A．￢p：存在x∈R，使得ex＜xB．￢p：任意x∈R，总有ex＜xC．￢p：存在x∈R，使得ex≤xD．￢p：任意x∈R，总有ex≤x【分析】根据已知中原命题，结合特称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：∵命题p：存在x∈R，使得ex＞x，则￢p为：任意x∈R，总有ex≤x．故选：D【点评】本题考查的知识点特称命题的命题，难度不大，属于基础题．2．双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±4xB．y=±2xC．y=±D．y=±x【分析】由双曲线﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程y=±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程y=±x，双曲线x2﹣=1的a=1，b=2，可得渐近线方程为y=±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．3．下列求导正确的是（）A．（）′=B．（log2x）′=C．（3x+1）′=x•3x﹣1+1D．（cosx）′=sinx【分析】根据函数的导数公式进行判断即可．【解答】解：（）′=﹣，故A错误，（log2x）′=，故B正确，（3x+1）′=3xln3，故C错误，（cosx）′=﹣sinx，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查函数导数公式的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．4．命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．0【分析】根据逆否命题的等价关系，只需要判断原命题与逆命题的真假即可．【解答】解：若a＞b，c=0，则ac2=bc2．∴原命题为假；∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题也为假；若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b．∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2．故选：C．【点评】根据命题的等价关系，四个命题中，真（假）命题的个数必为偶数个．5．“a=﹣2”是“直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【分析】直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1，可得﹣×（﹣1）=﹣1，解出即可得出．【解答】解：∵直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1，∴﹣×（﹣1）=﹣1，解得a=﹣2．∴“a=﹣2”是“直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1”的充要条件，故选：D．【点评】本题考查了充要条件的意义、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．过M（1，2）作直线与抛物线y2=8x，有且只有一个公共点，这样的直线有（）条．A．1B．2C．3D．4【分析】先验证点M（1，2）在抛物线y2=8x上，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．【解答】解：由题意可知M（1，2）在抛物线y2=8x上，故过点M（1，2）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是i）过M（1，2）且与抛物线y2=8x相切；ii）过M（1，2）且平行与对称轴．∴过M（1，2）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有1+1=2条．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题．解题时要认真审题，仔细解答7．当x=2时，函数f（x）=ax3﹣bx+4有极值﹣，则函数的解析式为（）A．f（x）=x3﹣4x+4B．f（x）=x2+4C．f（x）=3x3+4x+4D．f（x）=3x3﹣4x+4【分析】先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f′（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．【解答】解：f（x）=ax3﹣bx+4，f′（x）=3ax﹣b，在x=2处取极值，∴f′（2）=0，4a﹣b=0，①f（2）=﹣，8a﹣2b+4=﹣②联立①②解得：f（x）=x3﹣4x+4，故答案选：A．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数之间的关系，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视，属于中档题．8．若θ是任意实数，则方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆【分析】由θ的范围可得﹣4cosθ的取值范围，然后对其分类可得方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线．【解答】解：∵θ是任意实数，∴﹣4cosθ∈[﹣4，4]，当﹣4cosθ=1时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是圆；当﹣4cosθ＞0且不等于1时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是椭圆；当﹣4cosθ＜0时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是双曲线；当﹣4cosθ=0时，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线是两条直线．∴方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲线一定不是抛物线．故选：A．【点评】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．【解答】解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y=f（x）的图象可能是B，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．10．已知抛物线x2=2py（p＞0），斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．y=﹣1B．y=1C．y=﹣2D．y=2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可得方程为y=x+t．与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得p，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可得方程为y=x+t，联立，化为x2﹣2px﹣2pt=0，∴x1+x2=2p=2×2，解得p=2．∴抛物线的准线方程为y=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于中档题．11．P为椭圆上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则•等于（）A．3B．C．2D．2【分析】利用椭圆的定义、余弦定理和数量积运算即可得出．【解答】解：由椭圆的方程可得焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=4，由∠F1PF2=60°，利用余弦定理可得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，∴m2+n2﹣mn=4，联立，化为mn=4．∴•=mncos60°==2．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义、余弦定理和数量积运算，属于中档题．12．已知f（x）=，若直线y=kx﹣与f（x）的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣3，﹣）∪（﹣，+∞）【分析】先画出f（x）的图象，由图象可知，y=kx﹣过定点（﹣，0），当k≥0时，由图象可知，有三个交点，当k＜0时，设直线y=kx﹣与f（x）=x3﹣3x的切点坐标为（x0，y0），利用导数的几何意义求出k的值，再根据斜率公式求出k，继而求出k的值，有图象可知k的范围．【解答】解：画出f（x）=的图象，如图所示，∵y=kx﹣过定点（﹣，0），当k≥0时，由图象可知，有三个交点，当k＜0时，设直线y=kx﹣与f（x）=x3﹣3x的切点坐标为（x0，y0），∴f′（x）=3x2﹣3，∴f′（x0）=3x02﹣3=k=，即3x03﹣3x0=y0+∵y0=x03﹣3x0，∴3x03﹣3x0=x03﹣3x0+，解得x0=，∴k=3x02﹣3=﹣，∴﹣＜k＜0时，也有三个交点，综上所述，k的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5．【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．14．已知p：x≤1，q：x≤2a﹣1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】由p是q的充分条件，可得1≤2a﹣1，解出即可得出．【解答】解：∵p是q的充分条件，∴1≤2a﹣1，解得a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了充分条件的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若函数f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是k≤4．【分析】求出函数的定义域，求出函数的导数，问题转化为4x2﹣k≥0在[1，+∞）恒成立，求出k的范围即可．【解答】解：f（x）=2x2﹣klnx的定义域是（0，+∞），f′（x）=4x﹣=，若函数f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函数，只需4x2﹣k≥0在[1，+∞）恒成立，即k≤4x2在[1，+∞）恒成立，故k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道基础题．16．如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B=30°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c=2a，即可得到离心率的值．【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2=90°，∠AF2B=30°∴|AF1|=，|AF2|=|F1F2|=c，∴c﹣c=2a，∴e==1+故答案为1+【点评】本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣离心率的求法．考查基础知识的灵活应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知p：“方程﹣=1”表示双曲线；q：“关于x的方程x2﹣mx+1=0没有实数根”．若“￢p”和“p∨q”都是真命题，求m的取值范围．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：p：“方程﹣=1”表示双曲线，∴m＞0；q：“关于x的方程x2﹣mx+1=0没有实数根”，△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，∴q：﹣2＜m＜2，又“￢p”和“p∨q”都是真命题，∴p是假命题且q是真命题，∴，解得：﹣2＜m≤0，∴m的范围是（﹣2，0]．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数性质以及双曲线问题，是一道基础题．18．已知函数f（x）=（x2+x﹣1）ex（x∈R）．（1）求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【分析】（1）求导，f′（1）=4e，直线斜率为4e，且过点（1，e），利用点斜式方程，求得切线方程；（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+x﹣1）ex，（x∈R）∴f′（x）=（x2+3x）ex，∴f（1）=e，f′（1）=4e，∴曲线f（x）在（1，f（1））处的切线的方程为y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0；（2）由（1）知f′（x）=（x2+3x）ex，令f′（x）=0，解得：x=﹣3或x=0，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞0；函数单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜0，函数单调递递减．x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增当x=﹣3时取极大值，极大值为5e﹣3，当x=0取极小值为﹣1．【点评】本题考查利用导数法求曲线的切线方程及利用函数的单调性求极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．19．已知圆P与直线x=﹣1相切，且经过（1，0），设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点A的坐标为（2，1），点B在曲线C上运动，求线段AB中点的轨迹方程．【分析】（1）由题意圆心P的轨迹是以（1，0）为焦点、开口向右的抛物线，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线；（2）设线段AB中点M（x，y），B（x1，y1），由题意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，由点B在曲线C上运动，能求出点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意圆心为P到点（1，0）的距离等于P直线x=﹣1相切，所以圆心P的轨迹是以（1，0）为焦点、开口向右的抛物线．所以曲线C的方程y2=4x；（2）设线段AB中点M（x，y），B（x1，y1），由题意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，∵点B在曲线C上运动，∴（2y﹣2）2=4（2x﹣2），整理，得（y﹣1）2=2x﹣2．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查计算能力，考查代入法的运用，正确运用抛物线的定义是关键．20．某物理实验室做实验，需要一个体积为72m3的长方体封闭纸盒．若纸盒底面一边的长是另一边长的2倍，S表示纸盒的表面积，x表示纸盒底面上较短的边长．（1）试写出S与x间的函数关系式；（2）当x取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸盒最少？（值得厚度忽略不计）【分析】（1）由题意可表示出长方体的另外的边长，由表面积公式可得；（2）变形可得S=4x2++，由基本不等式可得．【解答】解：（1）由题意可得纸盒底面上较长的边长为2x，则由体积公式可得72=2x•x•h，（h为纸盒的高），则h=，故S=2•2x•x+2•2x•+2•x•=4x2+，x＞0；（2）∵S=4x2+，x＞0，∴S=4x2++≥3=108当且仅当4x2=即x=3时取等号．故当x=3时，做一个这样的长方体纸盒用纸盒最少．【点评】本题考查函数的解析式的求解，涉及基本不等式解决最优化问题，属中档题．21．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆M的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆M位于x轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别做CE，DF垂直x轴于E，F两点，若四边形CEFD的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）根据椭圆的性质分别求得a、b和c的值，即可写出椭圆的方程；（2）设出C和D点坐标及直线方程，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，求得x1+x2和x1•x2，代入直线方程求得y1+y2，进而求得x1﹣x2，利用梯形的面积公式，即可求得m的值，写出直线方程．【解答】解：（1）由椭圆的性质可知：c=1，2a=×2b，即a=b，∵a2=b2+c2，∴a=，b=1，c=1，∴椭圆M的方程：；（2）由题意可知：设C（x1，y1），D（x2，y2），且x1＞0，x2＜0，直线l的方程为：y=x+m，m＞0，∴，整理得：，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=（m2﹣1），y1+y2=（x1+x2）+2m=，x1﹣x2==，四边形CEFD的面