6.2.1 平面向量的线性运算(精讲)

平向的性算精）思维导1/

常见考考一向的法运【全国高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量、b，分别用两种方法求作向量．【答案】见解析【解析】将的点移到的点，再首尾相接，可得；将两个向量的起点移到点A，用平行四边形法则，以a、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量a.图所示，a

．（1；2/

（2；（3；（4.【例1-2全国一课时习）如示“向东0b表示“向西走kmc表“向北走

0

d表“向南走

5

么列向量具有什么意义（1））；（4b））.【答案）东走km）东走5；（3向东北走102）向西南走；（5向西北走102）向东南走102km.【解析】由题意知：表“东走10kmb表“向西走c表示“向北走0km“向南走km”表示“向东走km（1（2a表“向东走km”（3a表“向东北走km”表示“向西南走52km（4b（5示“向西北走102km”

表示3/

（6表“向东南走”【例1-3重市大学）向量

﹒化简后等于（）A.

AM

B.0C.

D.

【答案】【解析】

MBMBBCAMBCABBCAC,故D.【例1-4湖长沙市高一期末）已知点分别各边的中点，则下列等式中错误的（）A．C．DAEC【答案】

B．DED．DEDAFD【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD

，故A正；由EFEF，确；根据平行四边形法则，可得DAEC，正确D不确故选：【隅反1.图，已知向量a，，，求作和向量＋＋.【答案】见解析4/

ABCDABCD【解析】方一可作ac，再作(＋＋b，即＋＋.图①，首先在平面内任取一点O，作向量→→→→→OA＝，接着作向AB＝，则得向＝＋c，然后作向量＝，向＝＋为求．①②方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，→→(1)在平面内任取一点，作＝，OB＝b；→(2)作平行四边形AOBC，则OC＋b；→(3)再作向OD＝；→→→(4)作平行四边形CODE，则OEOC＋＝＋＋.即OE即为所求.2北京高二学业考试）平行四边形中，AD

等于（）A．

B．BD

C．

D．CD【答案】【解析】根据向量加法的平行四边形法则可得

，故选：A.3选全高一）图，在平行四边形

ABCD

中，下列计算正确的是（

）A．C．ABADAD【答案】ACD

B．DOD．DA【解析】由向量加法的平行四边形法则可知ABADACCDDOAOOA，故B不确；

，故A正确5/

ADCDCDAD，C正；ACDADA故D正确.故选：ACD.→→→→→→→→→→4.化简1)BC＋；(2)＋；(3)＋＋BC＋.→→→→→→→DB＋＋；(5)(＋)＋＋.→→→【答案）（2）（30（4）0（5AB→→→→→【解析】(1)BC＋＝＋＝AC.→→→→→→→→→AO＋＋＝＋＋BC＝＋＝.→→→→→→→→→→→→→→→→→→→AB＋＋＋＋＝AB＋＋＋＋＝ACCD＋DF＋＝＋＋＝AF＋＝0.→→→→→→→→DB＋＋＝＋＋DB＝＋＝0.→→→→→→→→→→→(5)方法一(＋)＋＋OM＝(＋)＋(＋MB)＝＋＝AB.→→→→→→→→→→→→→方法二(＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＋0.→→→→→→→→→→→方法三(＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝.考二向的法运【全国高一课时练习）如图，在各小题中，已知

，分别求作

．【答案】见解析【解析】将b

的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，a，6/

(1)(2)(3)(4)【例22-2全高一课练习）化简下列各式：①

AB

；②ABACCD③OD；QP.其中结果为0的数是（）A．1BC．3D【答案】【解析】①

AB

；②

ABACCDABBDAD

；③ODADDAAD

；④NQNPPN以上各式化简后结果均为,故选:D【隅反1全国高一课时练习）图，已知向量b,,

，求作向量

，．7/

【答案】见解析【解析】如下图所示，在平面内任取一点O作OAa，，则BAa，．2.如图，已知向量，，，求作向量a－－.【答案】见解析→→→→→【解析】在平面内任取一点，作向量＝OB＝，则向量a－＝BA再作向量＝，则向量＝－－.3莆田第七中学高二期）在五边形中如图

DC

（）8/

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→A．

B．AD

C．BD

D．BE【答案】【解析】

BCDCCD

.故选：4全国高一课时练习）简AC【答案】

______.【解析】BDABBDDCCA

．故答案为：．5.化简（）(－)－(－)OA－＋；(3)＋DA＋BD－－．【答案）（2（3→→→→→→→→→→→→→→→【解析一(统一成加法)(AB－CD－(－＝AB－－＋BD＝＋DC＋＋＝＋＋→→→＋＝＋＝0.→→→→→→→→→→→→→→→→→→→方法二利用－OB＝)(ABCD)AC－BD＝AB－－＋＝(AC－＋BDCB－CDBD＝DB→＋＝0.→→→→→→→→→→→→→方法三利＝OB－OA)设是平面内任意一点，则AB－)－)ABCDACBD＝(－)→→→→→→→→→→→→→→－(－)－(OA)＋(－)＝OB－－OD＋OC－＋＋OB＝0.OA－＋＝＋－OD＝－＝0→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→(3)AB＋＋BD－BCCA＝AB＋＋＋＝(ABBD＋(＋CB)＋A＝＋AB＋DA＝＋＋＝0＋＝．考三向的数的算【例3-1全高一课练习）把下列各小题中的向量表示为实数与向量a的：9/

（1e，；（2e，b；（3

1，b；（4

，

．【答案）b

）a）a

．【解析），a；（2

，

；（3

e)，b

；（4

)e，ba．【例3-2全高一课练习）如图，OADB是以向量a,OB为的平行四边形，又1BMCD，试用,b表OM,MN．3【答案】

OM

5b，，ab633【解析】

2CD,ON(OAOBab3BMBCBMBA1OBBM(OA)b6MNONa【隅反1全国高一课时练习）算：（1(a

；10/

.1.1（2))；（3(2))

．【答案）a））bc.【解析）原式；（2原式abab；（3原式abb．2全国高一课时练习）简：（1

；（2

；（3

；（4

【答案）ab）a）3）)【解析）.（2

22c

.（3

6

.（4

.3全国高一课时练习）图，解答下列各题：11/15

112112（1用

a,e

表示DB（2用

表示DB（3用

,

表示EC；（4用d,示．【答案）DB）DB）EC）EC．【解析】由题意知，AB，，CD，，则（1DBDEEA．（2CD．（3EABC．（4EC)．考四向的线定【4-1（2020·全高一课时练习）判断量,b

是否共(其中

e

,

e

是两个非零不共线的向量:(1)

11

;(2)

1ebe3

;(3)

bee122

.【答案】(1)共线，共，不共线【解析】(1)∵

b

,∴,∴a,b

共线.12/

1112121211121212(2)∵

1e,3

ee

,∴b,a,b共线.(3)假设)

,则

e1

1

2

.∵

e,e2

不共线∴此程组无解.∴不存在实数,得b∴b不共线【例4-2全高一课练习(1)知向量

e,2

不共线若

12

,

1

,CD2

A,B,D

三点共.(2)设

e2

是两个不共线向,已知

1

2

,

2

,

,若

A,B,D

三点共线,求k的值【答案】(1)见解析2)-8【解析】(1)

BDBC121

，

ee

，，BD与AB共.又BD

与AB

有公共点B，,D

三点共线.(2)

BDCB1

.A,B,D

三点共线，BD共线.∴存在实数

使AB

BD即

1

1(2

.e与e不线，2【隅反

k

.1高课时练习下列各小题中的向量,b是否共中

e2

是两个非零不共线向量（1

b

；（2

1ebe3

；（3

1

．13/

【答案】(1)a与共；(2)a

b共；(3)与不线．【解析）∵，∴a与b共线．（2∵

，∴a与b共．（3设则

1

，∴

(12

．∵

e1

与

e2

是两个非零不共线向量，∴

，

．这样的不在，∴a与b不线．2新泰市第二中学高一中）设a是共线的两个非零向量.（1若b，证：（2若kb与kab共，实数的；

，，

三点共线；（3若BCaba

，且

，C，D

三点共线，求实数k的.【答案）证明见解析.）

k

.【解析】证明）ABOAACOCb所以

.又因为A

为公共点，所以

，

三点共线.（2设

8

，则k解得

k或所以实数

k

的值为（3

ABBC